微分方程在物理中的应用_精品文档.doc
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微分方程在大学物理中的应用
一.质点运动学和牛顿运定律中的运用
1.质点运动:
a=dV/dt
“dV/dt”是“速度随时间的变化率”-----就是加速度。
(微分、又称“速度V的导数”)
写成表达式:
a=dV/dt---------
(1)
X表示位移,“dX/dt”就是“位移随时间的变化率”-----就是速度。
写成表达式:
V=dX/dt---------
(2)
把
(1)代入
(2)得:
a=(d^2X)/(dt^2)-------这就是“位移对时间”的“二阶导数”。
实际上,(d^2v)/(dt^2)就是“dv/dt(加速度)”对时间再次“求导”的结果。
d(dV/dt)/dt就是把“dV/dt”再次对时间求导。
-------也可以说成是“速度V对时间t的二阶导数”。
典型运用:
圆周运动向心加速度公式推导(微分思想)
2.牛顿第二定律:
F=dp/dt=d(mv)/dt=mdv/dt=ma
动量为p的物体,在合外力F的作用下,其动量随时间的变化率应当等于物体的合外力。
典型运用:
自由落体运动公式的推导
f=d(mv)/dt,得mg=mdv/dt,得g=dv/dt=ds^2/d^2t,求st关系用右边的,把下面的分母乘过去,积分两次,就得到0.5gt^2=s;
例题:
一物体悬挂在弹簧上做竖直振动,其加速度a=-ky,式中k为常量,y是以平衡位置为原点所测得的坐标。
假设振动的物体在坐标y0处的速度为v0,试求速度v与坐标y的函数关系式。
3.简谐运动(单摆复摆问题):
弹簧振子的运动为例,
回复力:
F=-kx
加速度:
a=F/m=-kx/m
对于给定的弹簧振子有w^2=k/m
则有a=dv/dt=d^2v/dt^2=-w^2x
其解为x=Acos(wt+h)
然后v=dx/dt,a=dv/dt推导出相应公式。
(物理书上原文)
下面我们求一下a=dv/dt=d^2v/dt^2=-w^2x的解。
还有在动量守恒定律、能量守恒定律以及刚体转动中等各个反面的运用。
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