离散数学综合练习及答案Word格式.docx
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1001011
1010011
1011011
0001001
1110101
0001011
1
110111
110,111;
成假赋值100,成真赋值:
000,001,010011,101,三、用真值表、等值演算两种方法判别公式类型。
、1r]?
q解:
pqr
r?
q]?
qp[(?
q)p(?
q)?
pq100001
110010
011010
111101
100010
100110
011110
111
r?
[(?
(?
q?
rr?
]q?
)q?
p[(?
)]q?
p(?
可满足式
2、)p)?
qq?
((解:
)?
pp?
q)((A?
qpp?
q)?
p)?
((?
qA
101010
101011
011
11
1)?
p)q?
永真式
四、求命题公式的主析取范式和成真赋值、成假赋值。
(qp解:
)rq?
(1000
1100
1010
1110
1001
1011
0011
1
(0,1,2,3,4,5,7)p?
(q?
r)?
成真赋值:
000,001,010,011,100,101,111;
成假赋值110
五、解释I如下:
D是实数集,特定元素a=0;
特定函数f?
x,y?
=x?
y;
特定谓词F?
x<
y。
在解释I下判别公式真、假。
1、)]xy),(f(x,?
y[?
F解:
F(f(x,y),x)]?
F(x?
y,x)]?
((x?
y)?
x)]?
y[(x?
x)]真值为假
2、)],zy),f((,y)?
F[fx,zxzx?
y?
{F(解:
)]?
zy?
zx?
yxzyx?
zyf),([?
yxFzyx?
{(,)Ffxz,(,)]}?
)(?
)(真值为真
六、.
1、求前束范式)y(x,x)?
yG?
xF(解:
xF(x)?
yG(x,y)?
yG(t,y)?
y[F(x)?
G(t,y)]2、证明:
B?
x)?
xA(x?
x(A()?
B)证明:
x(A(x)?
B)?
x(?
A(x)?
B?
xA(x)?
B?
B七、写出下面推理的证明,要求写出前提、结论,并注明
推理规则。
(1)如果乙不参加篮球赛,那么甲就不参加篮球赛。
若乙参加篮球赛,那么甲和丙就参加篮球赛。
因此,如果甲参加篮球赛,则丙就参加篮球赛。
解:
甲参加篮球赛。
乙参加篮球赛。
r:
丙参加篮球赛。
前提:
?
p,q?
,
结论:
p?
r
证明:
①?
p前提引入
②p?
q①置换
③q?
前提引入
④?
③置换
⑤?
p?
r?
④置换
⑥?
r⑤化简
⑦q?
r⑥置换
⑧p?
r②⑦假言三段论
推理正确
(2)学会的成员都是专家。
有些成员是青年人。
所以,有些成员是青年专家。
个体域是人的集合?
x是学会成员。
G?
x是专家。
H?
x是青年人。
F?
G?
,?
H?
②F?
c?
①EI
③?
④F?
③UI
⑤F?
②化简
⑥G?
⑤④假言推理
⑦F?
②⑥合取
⑧?
⑦EG
二?
集合、关系、函数
一、判断题
1、对任意集合A,都有A?
A和A?
A,不能同时成立。
(F)
2、R、R是A上的具有自反性的二元关系,R-R也具有自反性。
(F)22113、A上恒等关系I具有自反性、对称性、反对称性、传递性。
(T)Aog是A?
C的满射,则f、g都是满射。
(F4、f:
A?
B,g:
C,若f)
5、A={1,2,3,4},f是从A到A的满射,则也是从A到A的单射。
(T)
二、填空题
1、?
A-B?
∪AB=A。
62个。
个元素,从A到B的二元关系有2、A有2个元素,B有31o-一定具有的性质是对称性RR。
3、R是A上的二元关系,+到R的函数。
4、f?
=lnx是从R
111---o(o)=的双射,fgg。
f5、f、g都是从A到A三、集合
1、A={{a,{b}},c,{c},{a,b}}、B={{a,b},c,{b}}
求A∪B、A∩B、A-B、A?
B
AB?
{{a,{b}},c,{c},{a,b},{a,b},c,{b}}AB?
{c,{a,b}}A?
{{a,{b}},{c}}A?
(A?
B)(B?
A)?
{{a,{b}},{c}}{b}?
{{a,{b}},{c},{b}}2、A={{a,{b}},c,?
}求A的幂集。
P?
={?
,{?
},{{a,{b}}},{c},{{a,{b}},c},{{a,{b}},?
},{c,?
}},A}
3、证明:
A-?
B∪C?
=?
∩?
A-C?
(BC)?
A(BC)?
ABC?
ABAC?
B)(A?
C)解:
四、二元关系(共30分)
1、A={a,b,c,b},R={<
a,b>
,<
b,a>
b,c>
c,d>
}
44的集合表示。
R用关系矩阵求R,写出
2、指出二元关系满足哪种性质,不满足哪种性质,说明理由。
满足反对称性;
不满足自反性,反自反性,对称性,传递性
3、A={1,2,3,4,5,6},S={{1,2},{3},{4,5,6}}
画出由S产生的等价关系的关系图。
4、画出偏序集的哈斯图,并指出最大元、最小元、极大元、极小元。
{1,2,3,…,12}整除关系
最大元:
无;
最小元、极小元:
1;
极大元:
7,8,9,10,11,12
五、函数
1、确定以下各题中f是否是从A?
B的函数,若是指出是否是单射、满射、双射,
如果不是说明理由。
(1)A={1,2,3,4,5}、B={5,6,7,8,9}
f={?
1,8?
3,9?
4,10?
2,6?
5,9?
}
f是函数,由?
f不是单射,也不是满射。
(2)A={1,2,3,4,5}、B={5,6,7,8,9}
1,7?
4,8?
1,9?
5,10?
由?
,f不是函数。
3。
=xf?
、(3)AB都是实数集,解:
f是函数,f是单射,也是满射,f是双射。
11?
)(fxA、B都是正整数集,(4)?
1x?
1?
f是函数,f是单射,不是满射。
bd?
aAcgA?
Ah的函数。
,、,,都是,、2ga?
bb?
ac?
dd?
c,,:
,a?
cc?
ch,,:
,ggg(x)hg(x)h。
、中哪个有反函数?
若有则求出反函数。
求出复合函数、
1ggga?
c:
,是双射,有反函数,就是,自己。
,
a?
c)(xggd?
db?
b,,:
a)(xhgd?
d,:
,,3、A、B都是有n个元素的集合,f:
B的函数。
证明:
f是单射?
f是满射。
Af(x)?
f(x)ranf,有n个元素,证明:
设f是单射,由于,所以2112ranf?
Branf?
BB也只有又n个元素,所以,而
f(x),,不是单射,则?
设f是满射,若f2121ranf?
BA矛盾。
,与中只有n个元素,所以由于
三?
代数系统
1、{0,?
1,?
2,…,?
n}对普通加法封闭。
(F)
+上定义运算·
,x·
y=min{x,y},1是运算的幺元。
(T2、在非负整数集Z)
3、实数集与普通乘法构成的代数系统中每个元素都有逆元素。
4、在代数系统?
Z,+,0?
中,0是零元。
+与普通加法构成的代数系统是群。
5、非负整数集Z(F)?
6、M是n阶可逆矩阵的集合,×
是矩阵乘法,?
M,×
是群。
(T)
7、循环群的子群是循环群。
*,+?
的子代数。
8、代数系统?
Z,+?
是代数系统?
R(F)
n,n?
N},对|x=3乘法运算封闭。
1、A={x*,+?
构成的代数系统是半群2、?
R。
3、在代数系统?
中,0是单位元。
4、F={f|f:
A},o为函数的复合运算,?
F,o?
的单位元是恒等函数。
111---f)=g。
oA5、f、g都是从A到的双射,(fog11111-----b。
a,ab?
a6、在代数系统?
S,?
中,元素、b都有逆元,则?
a?
a==***7、循环群有生成元,使循环群中元素都是该元素的方幂。
8、V=?
S,o?
,V=?
都有幺元,?
是V到V的同态,则?
把V中的单1121*212位元映射到V中的单位元。
2三、解答题
+×
+?
是否是半群、独异点、群?
,Q1、Q是正有理数集,×
是普通乘法,?
是独异点。
Q没有逆元,?
,普通乘法有结合律,单位元是1,但0
,ab=aba×
b,×
是普通乘法。
上的运算、实数集2R+是普通加法,++**
验证:
R,?
只能是独异点。
*解:
a,b,c?
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