概率论与数理统计第二章基础知识小结_精品文档.docx
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第二章、基础知识小结
一、离散型分布变量分布函数及其分布律
1.定义:
……
……
2.分布律的性质:
(1)
(2)
3.离散型随机变量的分布函数:
4.分布函数F(X)的性质:
(1)
(2)是不减函数,
(3),即
(4)右连续,即
(5)
5.三种常见的离散型随机变量的概率分布
(1)0-1分布()
01
(2)二项分布()
(3)泊松分布()
二、连续型随机变量分布函数及其概率密度
1.连续型随机变量的分布函数即概率密度定义:
其中,为X的分布函数,为X的概率密度。
2.概率密度的性质
(1)
(2)
(3)
(4)
3.三种常见的连续型随机变量
(1)均匀分布()
(2)指数分布()
(3)正态分布()
(4)标准正态分布()及其性质
性质:
A.
B.
(5)非标准正态分布标准化
设,则
z=x-μσ~N(0,1)
三、随机变量函数的概率分布
1.离散型随机变量函数的概率分布
设离散型随机变量X的分布律为:
……
……
则X的函数的分布律为:
……
……
2.连续型随机变量函数的分布
设X的连续型随机变量,其概率密度为。
设是一严格单调的可导函数,其值域为,且。
记为的反函数,则的概率密度为
特别地,当时,
本章历届试题
1.(2013.10.2).设随机变量,Φ为标准正态分布函数,则=
A.Φ(x) B.1-Φ(x)
C.Φ D.1-Φ
PX>x=1-PX≤x=1-Φx-μσ
2.(2013.10.13).设随机变量X服从参数为1的指数分布,则=.
解:
因为,随机变量X服从参数为1的指数分布
所以,X的概率密度为
3.(2013.10.14).设随机变量,则Y的概率密度
=.
4.(2013.10.29).设随机变量X的概率密度为
求:
(1)常数c;
(2)X的分布函数;(3).
解:
(1)由得:
fx=x8,0 (2)由得: 当x≤0时, 当时,; 当x≥4时,Fx=-∞xf(t)dt=-∞00dt+04t8dt+4x0dt=1 即X的分布函数为Fx=0,x≤0x216,0 (3) 5.(2013.4.3).设随机变量X的分布函数为F(X)则( ) A.F(b-0)-F(a-0)B.F(b-0)-F(a) C.F(b)-F(a-0)D.F(b)-F(a) 6.(2013.4.14).设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则 . 分析: 泊松分布的分布律为 解: 由于随机变量X服从参数为1的泊松分布,所以 7.(2013.4.15).设随机变量X的概率密度为,用Y表示对X的3次独立重复观察中事件出现的次数,则__0__. 分析: Y~B(3,p),P{Y>3}=0 解: p=PX>3=3+∞f(x)dx=3+∞1x2dx=-1x3+∞=13 p=PX>3=1-PX≤3=1--∞3f(x)dx=1-131x2dx=13 1x2dx=x-2dx=-x-1+C=-1x+C 由于,Y表示“对X的3次独立重复观察中事件出现”的次数, 所以Y~B3,13,(Y=0,1,2,3) PY>3=0 PY>3=1-PY≤3 =1-PY=0-PY=1-PY=2-PY=3 =1-C30130233-C31131232-C32132231-C33133230 =1-827-49-29-127=0 7.(2014.4.2)设随机变量x的分布律为 X -102 P 0.10.30.6 F(x)为X的分布函数,则F(0)= A.0.1 B.0.3 C.0.4 D.0.6 F(0)=P{x=-1}+P{x=0}=0.1+0.3=0.4 8.(2014.4.14)设随机变量X服从区间[1,5]上的均匀分布,F(x)为X的分布函数,当1≤x≤5时,F(x)=_x-14______. fx=14,1≤x≤50,其他 当1≤1<5时,FX=1x14dt=t41x=x-14 9.(2014.4.15)设随机变量X的概率密度为=_______. PX>12=1212xdx=x2121=1-14=34 10.(2014.4.16)已知随机变量X~N(4,9),,则常数c=_______. PX>c=1-PX≤c=PX≤c,所以PX≤c=12=Φ0 由于X~N4,9,所以z=x-43~N(0,1) PX≤c=PX-43≤c-43=PZ≤c-43=Φc-43=Φ0 c-43=0,c=4 11.(2014.4.29)设随机变量X~N(0,1),记Y=2X,求: (1)P{X<-1}; (2)P{|X|<1};(3)Y的概率密度.() 解: 1由于X~N0,1,所以 PX<-1=Φ-1=1-Φ1=1-0.8413=0.1587 2由于X~N0,1,所以 PX<1=2Φ1-1=2×0.8413-1=0.6826 3由于X~N0,1,Y=2X,所以Y~N0,4,那么Y的概率密度函数为 fy=1σ2πe-(y-μ)22σ2=122πe-y28 8.(2013.1.3)以下函数中能成为某随机变量分布函数的是() A. B. C. D. 解: (A),淘汰 (B),淘汰 (C),时,单调增加,答案C (D),时,有增有减,淘汰。 9.(2013.1.4).设~,的分布函数为,则的值为() A. B. C. D. 10.(2013.1.14).设X的分布律为(),则_6__. 解: 11.(2013.1.15),其中,若,则___________. 解: 12.(2013.1.16)设X的分布律为 0 1 0.3 0.2 0.4 0.1 则0.6. 解: 13.(2013.28)设连续型随机变量的分布函数为, 试求: (1)系数; (2)的概率密度;(3). 解: 由于连续型随机变量的分布函数为 所以随机变量X的概率密度函数为 (1)由得: 故 (2)的概率密度为 (3)
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