幂法求矩阵最大特征值_精品文档.doc
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幂法求矩阵最大特征值
幂法求矩阵最大特征值
摘要
在物理、力学和工程技术中的很多问题在数学上都归结为求矩阵特征值的问题,而在某些工程、物理问题中,通常只需要求出矩阵的最大的特征值(即主特征值)和相应的特征向量,对于解这种特征值问题,运用幂法则可以有效的解决这个问题。
幂法是一种计算实矩阵A的最大特征值的一种迭代法,它最大的优点是方法简单。
对于稀疏矩阵较合适,但有时收敛速度很慢。
用java来编写算法。
这个程序主要分成了三个大部分:
第一部分为将矩阵转化为线性方程组;第二部分为求特征向量的极大值;第三部分为求幂法函数块。
其基本流程为幂法函数块通过调用将矩阵转化为线性方程组的方法,再经过一系列的验证和迭代得到结果。
关键词:
幂法;矩阵最大特征值;java;迭代
POWERMETHODTOCALCULATETHEMAXIMUMEIGENVALUEMATRIX
ABSTRACT
Inphysics,mechanicsandengineeringtechnologyofalotofproblemsinmathboildowntomatrixeigenvalueproblem,andinsomeengineering,physicalproblems,usuallyonlythelargesteigenvalueofthematrix(i.e.,themaincharacteristicsofthevalue)andthecorrespondingeigenvectors,theeigenvalueproblemforsolution,usingthepowerlawcaneffectivelysolvetheproblem.
PowermethodisAkindofcomputingthelargesteigenvalueofrealmatrixAofaniterativemethod,itsbiggestadvantageissimple.Forsparsematrixisright,butsometimesveryslowconvergencespeed.
UsingJavatowritealgorithms.Thisprogramismainlydividedintothreemost:
thefirstpartformatrixcanbeconvertedtolinearequations;Thesecondpartistheeigenvectorofthemaximum;Thethirdpartistheexponentiationmethodoffunctionblock.Itsbasicprocessasapowerlawfunctionblockbycallingthemethodofmatrixcanbeconvertedtolinearequations,thenafteraseriesofvalidationanditerationtogettheresults.
Keywords:
Powermethod;Matrixeigenvalue;Java;Theiteration
目录
1幂法…………………..…………………………...............…….………………………….1
1.1幂法基本思想……………..…….…………….………………………………………1
1.2规范化………………....…………………….....…………………………………2
2概要设计………………….………………..…...…….............................3
2.1设计背景………………..…………………………………………………………..3
2.2运行流程………....................….....................………………………………………3
2.3运行环境…………..................................………….………………………..3
3程序详细设计………….......................….....…….………………..………....4
3.1第一部分:
矩阵转化为线性方程组……..………………………………………..4
3.2第二部分:
特征向量的极大值...…………………….....…...…………………….4
3.3第三部分:
求幂法函数块............….....…………...…......…………………………5
4运行过程及结果……………………....................................…………………….…........6
4.1运行过程.........................................................………………………………………..6
4.2运行结果………….......……………...................……………...……………………...6
4.3结果分析………..............................................………………….…………………….6
5心得体会……………………………………..…………………………………………...7
参考文献……………………………………….....………………………………….……..8
附录:
源程序…………………………………….…………………………….…………….....9
2
1幂法
设An有n个线性相关的特征向量v1,v2,…,vn,对应的特征值l1,l2,…,ln,满足
|l1|>|l2|³…³|ln|
1.1基本思想
因为{v1,v2,…,vn}为Cn的一组基,所以任给x(0)¹0,——线性表示
所以有
若a1¹0,则因知,当k充分大时A(k)x(0)»l1ka1v1=cv1属l1的特征向量,另一方面,记max(x)=xi,其中|xi|=||x||¥,则当k充分大时,
若a1=0,则因舍入误差的影响,会有某次迭代向量在v1方向上的分量不为0,迭代下去可求得l1及对应特征向量的近似值。
1.2规范化
在实际计算中,若|l1|>1则|l1ka1|®¥,若|l1|<1则|l1ka1|®0都将停机。
须采用“规范化”的方法
,k=0,1,2,…
定理3.2-1任给初始向量有,
证明:
而
注:
若的特征值不满足条件(3.2.1),幂法收敛性的分析较复杂,但若l1=l2=…=lr且|l1|>|lr+1|³…³|ln|则定理结论仍成立。
此时不同初始向量的迭代向量序列一般趋向于l1的不同特征向量。
2概要设计
2.1设计背景
用java程序来实现幂法求矩阵最大特征值。
2.2运行流程
本程序分为了几大部分,通过方法间的相互调用,达到求解目的:
首先matrixx方法的作用是将矩阵A与向量X相乘,结果存储在Y中,即将方程组呈现出来,slove方法求出各未知数的最大值,程序的主体方法mifa通过dowhile循环中调用matrixx方法实现幂法函数。
2.3运行环境
Windows72009
JDK6.0
3程序详细设计
首先在桌面里新建文件夹,并运行程序J++6.0;令一维矩阵u={3,4,5};双精度浮点型初值为a=1.0,b=2.0;整型变量方程组的阶数n=3;双精度浮点型方程组系数矩阵为A={{7,3,-2},{3,4,1},{-2,-1,3}};
3.1第一部分:
矩阵转化为线性方程组
将二维矩阵A,一维矩阵x,y以及阶数n作为它的形参,通过for循环将Ax相乘得到的结果存储在Y中。
其执行程序如下:
publicvoidmatrixx(double[][]A,double[]x,double[]y,intn){
for(inti=0;i y[i]=0; for(intj=0;j y[i]+=A[i][j]*x[j]; } } } 3.2第二部分: 特征向量的极大值 首先将形参double型一维矩阵x中的元素通过for循环取到最大值,并将最大值赋予max。 其执行程序如下: publicdoubleslove(double[]x,intn){ doublemax=0; for(inti=0;i max=x[i]>x[i+1]? x[i]: x[i+1]; } returnmax; } 3.3第三部分: 求幂法函数块 这个方法有五个形参,二维矩阵A,一维矩阵u,双精度浮点型初值a,b矩阵的阶数n。 该方法的主体部分在dowhile中,通过循环迭代matrixx方法和solve方法,解出矩阵的特征值并且比较出最大特征值。 通过for循环列出关于该矩阵的线性方程组的所有特征向量。 其执行程序如下: publicvoidmifa(double[][]A,double[]u,doublea,doubleb,intn){ doublec=0.0; doublec1=0.0; intcount=0; double[]temp={0,0,0};
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