高等教育出版社《离散数学》屈婉玲耿素云张立昂版最全答案文档格式.docx
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(3)p∨┐q,其中,p:
3是偶数,q:
4是偶数,真值为0;
(4)p∨q,其中
(5)┐p∨┐q,其中,p:
3.
(1)(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中,小丽从筐里拿一个苹果,q:
小丽从筐里拿一个梨;
(2)(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中,p:
刘晓月选学英语,q:
刘晓月选学日语;
.
4.因为p与q不能同时为真.
5.设p:
今天是星期一,q:
明天是星期二,r:
明天是星期三:
(1)p→q,真值为1(不会出现前件为真,后件为假的情况);
(2)q→p,真值为1(也不会出现前件为真,后件为假的情况);
(3)pq,真值为1;
(4)p→r,若p为真,则p→r真值为0,否则,p→r真值为1.
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第二章命题逻辑等值演算
本章自测答案
5.
(1):
∨∨,成真赋值为00、10、11;
(2):
0,矛盾式,无成真赋值;
(3):
∨∨∨∨∨∨∨,重言式,000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值;
7.
(1):
∨∨∨∨⇔∧∧;
∨∨∨⇔∧∧∧;
8.
(1):
1⇔∨∨∨,重言式;
∨⇔∨∨∨∨∨∨;
∧∧∧∧∧∧∧⇔0,矛盾式.
11.
(1):
∨∨⇔∧∧∧∧;
∨∨∨∨∨∨∨⇔1;
0⇔∧∧∧.
12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.
第三章命题逻辑的推理理论
6.在解本题时,应首先将简单陈述语句符号化,然后写出推理的形式结构*,其次就是判断*是否为重言式,若*是重言式,推理就正确,否则推理就不正确,这里不考虑简单语句之间的内在联系
(1)、(3)、(6)推理正确,其余的均不正确,下面以
(1)、
(2)为例,证明
(1)推理正确,
(2)推理不正确
(1)设p:
明天是星期三,推理的形式结构为
(p→q)∧p→q(记作*1)
在本推理中,从p与q的内在联系可以知道,p与q的内在联系可以知道,p与q不可能同时为真,但在证明时,不考虑这一点,而只考虑*1是否为重言式.
可以用多种方法(如真值法、等值演算法、主析取式)证明*1为重言式,特别是,不难看出,当取A为p,B为q时,*1为假言推理定律,即
(p→q)∧p→q⇒q
(2)设p:
(p→q)∧p→q(记作*2)
可以用多种方法证明*2不是重言式,比如,等值演算法、主析取范式(主和取范式法也可以)等
(p→q)∧q→p
⇔(┐p∨q)∧q→p
⇔q→p
⇔┐p∨┐q
⇔⇔∨∨
从而可知,*2不是重言式,故推理不正确,注意,虽然这里的p与q同时为真或同时为假,但不考虑内在联系时,*2不是重言式,就认为推理不正确.
9.设p:
a是奇数,q:
a能被2整除,r:
a:
是偶数
推理的形式结构为
(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p)(记为*)
可以用多种方法证明*为重言式,下面用等值演算法证明:
(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)
⇔(┐p∨┐q)∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)
⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r
⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)
⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r
⇔1
10.设p:
a,b两数之积为负数,q:
a,b两数种恰有一个负数,r:
a,b都是负数.
推理的形式结构为
(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)
⇔(┐p∨q)∧┐p→(┐q∧┐r)
⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)
⇔p∨(┐q∧┐r)
⇔∨∨∨
由于主析取范式中只含有5个W极小项,故推理不正确.
11.略
14.证明的命题序列可不惟一,下面对每一小题各给出一个证明
①p→(q→r) 前提引入
②P 前提引入
③q→r ①②假言推理
④q 前提引入
⑤r ③④假言推理
⑥r∨s 前提引入
(2)证明:
①┐(p∧r) 前提引入
②┐q∨┐r ①置换
③r 前提引入
④┐q ②③析取三段论
⑤p→q 前提引入
⑥┐p ④⑤拒取式
(3)证明:
①p→q 前提引入
②┐q∨q ①置换
③(┐p∨q)∧(┐p∨p)②置换
④┐p∨(q∧p ③置换
⑤p→(p∨q) ④置换
15.
(1)证明:
①S 结论否定引入
②S→P 前提引入
③P ①②假言推理
④P→(q→r) 前提引入
⑤q→r ③④假言推论
⑥q 前提引入
⑦r ⑤⑥假言推理
①p 附加前提引入
②p∨q ①附加
③(p∨q)→(r∧s) 前提引入
④r∧s ②③假言推理
⑤s ④化简
⑥s∨t ⑤附加
⑦(s∨t)→u 前提引入
⑧u ⑥⑦拒取式
16.
(1)证明:
①p 结论否定引入
②p→┐q 前提引入
③┐q①② 假言推理
④┐r∨q 前提引入
⑤┐r ③④析取三段论
⑥r∧┐s 前提引入
⑦r ⑥化简
⑧┐r∧r ⑤⑦合取
①┐(r∨s) 结论否定引入
②┐r∨┐s ①置换
③┐r ②化简
④┐s ②化简
⑤p→r 前提引入
⑥┐p ③⑤拒取式
⑦q→s 前提引入
⑧┐q ④⑦拒取式
⑨┐p∧┐q ⑥⑧合取
⑩┐(p∨q) ⑨置换
口p∨q 前提引入
⑾①口┐(p∨q)∧(p∨q)⑩口合取
17.设p:
A到过受害者房间,q:
A在11点以前离开,r:
A犯谋杀罪,s:
看门人看见过A。
前提:
(p∧┐q)→r,p,q→s,┐s
结论:
r
证明:
①q→s前提引入
②┐s前提引入
③┐q①②拒取式
④p前提引入
⑤p∧┐q③④合取
⑥(p∧┐q)→r前提引入
⑦r⑤⑥假言推理
18.
(1)设p:
今天是星期六,q:
我们要到颐和园玩,s:
颐和园游人太多。
p→(p∨r),s→┐q,p,s
①s→┐q 前提引入
②s 前提引入
③┐q ①②假言推理
④p 前提引入
⑤p→(q∨r) 前提引入
⑥q∨r ④⑤假言推理
⑦r ③⑥析取三段论
(2)设p:
小王是理科学生,q:
小王数学成绩好,r:
小王是文科学生。
p→q,┐r→p,┐q
①p→q 前提引入
②┐q 前提引入
③┐p ①②拒取式
④┐r→p 前提引入
⑤r ③④拒取式
第四章(一阶)谓词逻辑基本概念
4.
(1)┐x(F(x)∧┐G(x))⇔x(F(x)→G(x)),其中,F(x):
x是有理数,G(x):
x能表示成分数;
(2)┐x(F(x)→G(x))⇔x(F(x)∧┐G(x)),其中,F(x):
x在北京卖菜,G(x):
x是外地人;
(3)x(F(x)→G(x)),其中,F(x):
x是乌鸦,G(x):
x是黑色的;
(4)xF(x)∧G(x)),其中,F(x):
x是人,G(x):
x天天锻炼身体。
因为本题中没有指明个体域,因而使用全总个体域。
5.
(1)xy(F(x)∧G(y)→H(x,y)),其中,F(x):
x是火车,G(y):
y是轮船,H(x,y):
x比y快;
(2)xy(F(x)∧G(y)→H(x,y)),其中,F(x):
y是汽车,
H(x,y):
(3)┐x(F(x)∧y(G(y)→H(x,y)))⇔x(F(x)→y(G(y)∧┐H(x,y))),其中,F(x):
x是汽车,G(y):
y是火车,H(x,y):
(4)┐x(F(x)→y(G(y)→H(x,y)))⇔xy(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y))),其中,F(x):
x是汽车,G(y):
x比y慢。
6.各命题符号化形式如下:
(1)xy(x.y=0);
(2)xy(x.y=0);
(3)xy(y=x+1)
(4)xy(x.y=y.x)
(5)xy(x.y=x+y)
(6)xy(x+y<0)
9.
(1)对任意数的实数x和y,若x<y,则x≠y;
(2)对任意数的实数x和y,若x–y=0,则x<y;
(3)对任意数的实数x和y,若x<y,则x–y≠0;
(4)对任意数的实数x和y,若x–y<0,则x=y.
其中,
(1)(3)真值为1
(2)与(4)真值为0.
11.
(1)、(4)为永真式,
(2)、(6)为永假式,(3)、(5)为可满足式。
这里仅对(3)、(4)、(5)给出证明。
(3)取解释I为:
个体域为自然数集合N,F(x,y):
x≤y,在下,xyF(x,y)为真,而xyF(x,y)也为真(只需取x=0即可),于是(3)中公式为真,取解释为:
个体域仍为自然数集合N,而F(x,y):
x=y。
此时,xyF(x,y)为真(取y为x即可),可是xyF(x,y)为假,于是(3)中公式在下为假,这说明(3)中公式为可满足式。
(4)设I为任意一个解释,若在I下,蕴涵式前件xyF(x,y)为假,则
xy
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