小学奥数 完全平方数 知识点+例题+练习 分类全面Word格式.docx
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教学内容
完全平方数
教学目标
掌握完全平方数的特征
重点
难点
完全平方数的特征
教学准备
纸、笔
教学过程
一、完全平方数的性质
(一)完全平方数常用的三条性质
1.完全平方数的末位数字必须是:
0,1,4,5,6,9。
2.完全平方数的约数一定有奇数个;
有奇数个约数的数一定是完全平方数。
3.奇数的平方是奇数,偶数的平方是偶数
完全平方数除以3的余数只可能为为0或1;
完全平方数除以4的余数只可能为为0或1;
偶数的平方是4的倍数,奇数的平方除以4余1。
(二)一些推论
1.任何偶数的平方一定能被4整除;
任何奇数的平方被4(或8)除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有:
00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。
4.完全平方数个位数字是奇数(1,5,9)时,其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数(0,4)时,其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时,其十位数字必为奇数。
(三)重点公式回顾:
平方差公式:
(四)几个特殊的完全平方数(了解)
7744(四位数中唯一一个前两位数字相同,后两位数字也相同);
1444(后三位数字相同的数中最小的)。
112=121
1112=12321
11112=1234321
一、“平方族”成员典型特征一:
个位是0,1,4,5,6,9。
例:
下面是一个算式:
112123123412345123456。
这个算式的得数能否是某个数的平方。
巩固、一天,一个小骗子在街上招摇撞骗,声称自己是完全平方数,只见此人长得这个模样:
A=1+1×
2+1×
2×
3+…+1×
3×
…×
100,小帅侠偶指奇约一眼就瞅出了这家伙的可疑之处,你发现了吗?
巩固、8,88,888,8888…中有完全平方数吗?
二、完全平方数的等价条件:
奇数个因数
注:
计算一个数的因数先把这个数分解质因数,然后把不同质因数的个数加1以后再相乘所得的乘积就是因数的个数
例如:
12=2×
3
12的质因数2有2个,质因数3有1个因数个数:
(2+1)×
(1+1)=6个
180=2×
5
180的质因数2有2个,质因数3有2个,质因数5有1个因数个数:
(1+1)=3×
2=18个
自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数.因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次
例1、200名同学编号为1至200向南站成一排,第1次全体同学向右转(转后全体同学面朝西);
第2次编号为2的倍数的同学向右转;
第3次编号为3的倍数的同学向右转;
……第200次编号为200的倍数的同学向右转;
这时面向东、面向西的同学共有多少名?
14
巩固、礼堂里有100盏灯,依次按1~100的顺序排号。
每盏灯由一根灯绳控制,拉一个亮,再拉一下灭。
100个学生依次进入礼堂,第1名学生把编号为1的倍数的灯都拉一下,第2名学生把编号为2的倍数的灯都拉一下……第100名学生把编号为100的倍数的灯都拉一下;
最后礼堂里有________盏灯是亮的?
10
例2、已知3528·
a恰是自然数b的平方数,a的最小值是。
2
巩固、已知m,n都是自然数,且n2126m,则n的最小值为。
42
四、“平方族”成员典型特征二:
除以3或4只能余0或1
奇数的平方是奇数,偶数的平方为偶数,而奇数的平方除以4余1,偶数的平方能被4整除
例1、形如11,111,1111,11111,…的数中有没有完全平方数?
巩固、A是由2018个“4”组成的多位数,即444444……(2018个4),A是不是某个自然数B的平方?
如果是,写出B;
如果不是,请说明理由.
例2、122232…2017220182除以4的余数是。
1
巩固、122232…2017220192除以3的余数是。
例3、已知:
1234567654321×
49是一个完全平方数,求它是谁的平方?
7777777
巩固、是的平方.
三、完全平方数的等价条件一:
偶指性
已知自然数n满足:
12!
除以n得到一个完全平方数,则n的最小值为_______。
(12!
=12×
11×
10×
9×
8×
7×
6×
5×
4×
1)231
12!
=210×
35×
52×
11
五、平方差公式的运用
例1、一个数减去100是一个平方数,减去63也是一个平方数,问这个数是多少?
A=19,B=18
192+63=424
巩固、能否找到这么一个数,它加上24,和减去30所得的两个数都是完全平方数?
不能
1、1+1×
50是不是一个完全平方数
2、是由2000个“4”组成的多位数,是不是某个自然数的平方?
如果是,写出;
如果不是,请说明理由.
3、一个数减去14,加上17都是一个完全平方数,求这个数
4、22+42+62+82+102+122+142+……2002除以4的余数是
5、12+22+32+42+52+62+72+……2002除以3的余数是
6、1234321×
81是的平方
7、360×
m是一个完全平方数,m最小是
8、判断下列那些数是完全平方数:
961、3364、1111111、1521、1234321、1849、89234
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