高考圆锥曲线与不等式教师已编辑Word文档下载推荐.docx
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①当a≠0时,用Δ判定,方法同上.
②当a=0时,直线与抛物线的对称轴平行,只有一个交点.
2.有关弦长问题
有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关系,“设而不求”;
有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算.
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|=|x2-x1|或|P1P2|=|y2-y1|,其中求|x2-x1|与|y2-y1|时通常使用根与系数的关系,即作如下变形:
|x2-x1|=,
|y2-y1|=.
(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间距离公式).
3.弦的中点问题
有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,“设而不求法”来简化运算.
4.轨迹方程问题
(1)求轨迹方程的基本步骤:
①建立适当的平面直角坐标系,设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法).
②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系.
③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化.
④化简整理方程——简化.
⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性.
(2)求轨迹方程的常用方法:
①直接法:
将几何关系直接翻译成代数方程;
②定义法:
满足的条件恰适合某已知曲线的定义,用待定系数法求方程;
③代入法:
把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系;
④交轨法:
写出两条动直线的方程直接消参,求得两条动直线交点的轨迹;
(3)注意①建系要符合最优化原则;
②求轨迹与“求轨迹方程”不同,轨迹通常指的是图形,而轨迹方程则是代数表达式.步骤②⑤省略后,验证时常用途径:
化简是否同解变形,是否满足题意,验证特殊点是否成立等.
热点一 圆锥曲线中的范围、最值问题
例1 (2013·
浙江)如图,点P(0,-1)是椭圆C1:
+=1(a>
b>
0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:
x2+y2=4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.
思维启迪
(1)P点是椭圆上顶点,圆C2的直径等于椭圆长轴长;
(2)设直线l1的斜率为k,将△ABD的面积表示为关于k的函数.
解
(1)由题意得
所以椭圆C1的方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).
由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,
则直线l1的方程为y=kx-1.
又圆C2:
x2+y2=4,
故点O到直线l1的距离
d=,
所以|AB|=2=2.
又l2⊥l1,故直线l2的方程为x+ky+k=0.
由
消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,
故x0=-.
所以|PD|=.
设△ABD的面积为S,
则S=|AB|·
|PD|=,
所以S=≤=,
当且仅当k=±
时取等号.
所以所求直线l1的方程为y=±
x-1.
思维升华 求最值及参数范围的方法有两种:
①根据题目给出的已知条件或图形特征列出一个关于参数的函数关系式,将其代入由题目列出的不等式(即为消元),然后求解不等式;
②由题目条件和结论建立目标函数,进而转化为求函数的值域.
已知椭圆C的左,右焦点分别为F1,F2,椭圆的离心率为,且椭圆经过点P(1,).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)线段PQ是椭圆过点F2的弦,且=λ,求△PF1Q内切圆面积最大时实数λ的值.
解
(1)e==,P(1,)满足+=1,
又a2=b2+c2,∵a2=4,b2=3,
∴椭圆标准方程为+=1.
(2)显然直线PQ不与x轴重合,
当直线PQ与x轴垂直时,|PQ|=3,|F1F2|=2,
S△PF1Q=3;
当直线PQ不与x轴垂直时,设直线PQ:
y=k(x-1),k≠0代入椭圆C的标准方程,
整理,得(3+4k2)y2+6ky-9k2=0,
Δ>
0,y1+y2=,y1·
y2=.
S△PF1Q=×
|F1F2|×
|y1-y2|=12,
令t=3+4k2,∴t>
3,k2=,
∴S△PF1Q=3,
∵0<
<
,
∴S△PF1Q∈(0,3),
∴当直线PQ与x轴垂直时S△PF1Q最大,且最大面积为3.
设△PF1Q内切圆半径为r,
则S△PF1Q=(|PF1|+|QF1|+|PQ|)·
r=4r≤3.
即rmax=,此时直线PQ与x轴垂直,△PF1Q内切圆面积最大,
∴=,∴λ=1.
热点二 圆锥曲线中的定值、定点问题
例2 (2013·
陕西)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明:
直线l过定点.
思维启迪
(1)设动圆圆心坐标,利用圆的半径、半弦长和弦心距组成的直角三角形求解;
(2)设直线方程y=kx+b,将其和轨迹C的方程联立,再设两个交点坐标,由题意知直线BP和BQ的斜率互为相反数,推出k和b的关系,最后证明直线过定点.
(1)解 如图,设动圆圆心为O1(x,y),由题意,得|O1A|=|O1M|,
当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H是MN的中点,
∴|O1M|=,
又|O1A|=,
∴=,
化简得y2=8x(x≠0).
又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2=8x,
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.
(2)证明 如图由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),
P(x1,y1),Q(x2,y2),
将y=kx+b代入y2=8x中,
得k2x2+(2bk-8)x+b2=0.
其中Δ=-32kb+64>
0.
由根与系数的关系得,x1+x2=,①
x1x2=,②
∵x轴是∠PBQ的角平分线,
∴=-,
即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,
(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,
2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0③
将①②代入③得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,
∴k=-b,此时Δ>
0,
∴直线l的方程为y=k(x-1),即直线l过定点(1,0).
思维升华
(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,基本思想是使用参数表示要解决的问题,证明要解决的问题与参数无关.在这类试题中选择消元的方向是非常关键的.
(2)由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:
y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);
若得到了直线方程的斜截式:
y=kx+m,则直线必过定点(0,m).
已知椭圆C的中点在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点P(2,3),Q(2,-3)在椭圆上,点A、B是椭圆上不同的两个动点,且满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
解
(1)设椭圆C的方程为+=1(a>
0),
则b=2.由=,a2=c2+b2,得a=4,
∴椭圆C的方程为+=1.
(2)当∠APQ=∠BPQ时,PA、PB的斜率之和为0,
设直线PA的斜率为k,
则PB的斜率为-k,PA的直线方程为y-3=k(x-2),
由整理得
(3+4k2)x2+8(3-2k)kx+4(3-2k)2-48=0,
x1+2=,
同理PB的直线方程为y-3=-k(x-2),
可得x2+2==.
∴x1+x2=,x1-x2=,
kAB==
==,
∴直线AB的斜率为定值.
热点三 圆锥曲线中的探索性问题
例3 已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上,C1的中心和C2的顶点均为原点O,从每条曲线上各取两个点,将其坐标记录于下表中:
x
3
-2
4
y
-4
(1)求C1,C2的标准方程;
(2)是否存在直线l满足条件:
①过C2的焦点F;
②与C1交于不同的两点M,N,且满足⊥?
若存在,求出直线l的方程;
若不存在,说明理由.
思维启迪
(1)比较椭圆及抛物线方程可知,C2的方程易求,确定其上两点,剩余两点,利用待定系数法求C1方程.
(2)联立方程,转化已知条件进行求解.
解
(1)设抛物线C2:
y2=2px(p≠0),
则有=2p(x≠0),
据此验证四个点知(3,-2),(4,-4)在C2上,
易求得C2的标准方程为y2=4x.
设椭圆C1:
把点(-2,0),(,)代入得,
解得,所以C1的标准方程为+y2=1.
(2)容易验证当直线l的斜率不存在时,不满足题意.
当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1),
与C1的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).
消去y并整理得(1+4k2)x2-8k2x+4(k2-1)=0,
于是x1+x2=,①
x1x2=.②
所以y1y2=k2(x1-1)(x2-1)
=k2[x1x2-(x1+x2)+1]
=k2[-+1]=-.③
由⊥,即·
=0,得x1x2+y1y2=0.(*)
将②③代入(*)式,得-==0,
解得k=±
2,所以存在直线l满足条件,
且直线l的方程为2x-y-2=0或2x+y-2=0.
思维升华 解析几何中的探索性问题,从类型上看,主要是存在类型的相关题型.解决问题的一般策略是先假设结论成立,然后进行演绎推理或导出矛盾,即可否定假设或推出合理结论,验证后肯定结论,对于“存在”或“不存在”的问题,直接用条件证明或采用反证法证明.解答时,不但需要熟练掌握圆锥曲线的概念、性质、方程及不等式、判别式等知识,还要具备较强的审题能力、逻辑思维能力以及运用数形结合的思想分析问题和解决问题的能力.
如图,抛物线C:
y2=2px的焦点为F,抛物线上一定点Q(1,2).
(1)求抛物线C的方程及准线l的方程.
(2)过焦点F的直线(不经过Q点)与抛物线交于A,B两点,与准线l交于点M,记QA,QB,QM的斜率分别为k1,k2,k3,问是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3成立,若存在λ,求出λ的值;
解
(1)把Q(1,2)代入y2=2px,得2p=4,
所以抛物线方程为y2=4x,准线l的方程:
x=-1.
(2)由条件可设直线AB的方程为y=k(x-1),k≠0.
由抛物线准线l:
x=-1,可知M(-1,-2k).
又Q(1,2),所以k
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