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实数大小比较的常用方法【初二数学】
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2012年11月23日浏览:
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实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型,不少同学感到困难。
“实数”是初中数学的重要内容之一,也是学好其他知识的基础。
为帮助同学们掌握好这部分知识,本讲介绍几种比较实数大小的常用方法。
一【差值比较法】差值比较法的基本思路是设a,b为任意两个实数,先求出a与b的差,再根据当a-b﹥0时,得到a﹥b。
当a-b﹤0时,得到a﹤b。
当a-b=0,得到a=b。
例1:
(1)比较与的大小。
(2)比较1-与1-的大小。
解∵-=<0,∴<。
解∵(1-)-(1-)=>0,∴1->1-。
二【商值比较法】商值比较法的基本思路是设a,b为任意两个正实数,先求出a与b得商。
当<1时,a<b;当>1时,a>b;当=1时,a=b。
来比较a与b的大小。
例2:
比较与的大小。
解:
∵÷=<1∴<
三【倒数法】倒数法的基本思路是设a,b为任意两个正实数,先分别求出a与b的倒数,再根据当>时,a<b。
来比较a与b的大小。
例3:
比较-与-的大小。
解∵=+,=+
又∵+<+
∴->-
四【平方法】平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方,再根据a>0,b>0时,可由>得到a>b来比较大小,这种方法常用于比较无理数的大小。
例5:
比较与的大小
解:
,=8+2。
又∵8+2<8+2∴<。
五【估算法】
估算法的基本是思路是设a,b为任意两个正实数,先估算出a,b两数或两数中某部分的取值范围,再进行比较。
例4:
比较与的大小
解:
∵3<<4∴-3<1∴<
六【移动因式法】(穿墙术)
移动因式法的基本是思路是,当a>0,b>0,若要比较形如a的大小,可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内,再根据被开方数的大小进行比较。
例6:
比较2与3的大小
解:
∵2==,3==。
又∵28>27,∴2>3。
七【取特值验证法】
比较两个实数的大小,有时取特殊值会更简单。
例7:
当时,,,的大小顺序是______________。
解:
(特殊值法)取=,则:
=,=2。
∵<<2,∴<<。
例(常德市)设a=20,b=(-3)2,c=,d=,则a、b、c、d按由小到大的顺序排列正确的是( )
A.c<a<d<bB.b<d<a<cC.a<c<d<bD.b<c<a<d
分析 可以分别求出a、b、c、d的具体值,从而可以比较大小.
解 因为a=20=1,b=(-3)2=9,c==-,d==2,而-<1<2<9,所以c<a<d<b.故应选A.
除以上七种方法外,还有利用数轴上的点,右边的数总比左边的数大;以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。
对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。
能快速地取得令人满意的结果。
比较实数大小的八种方法
张德军
生活中,我们经常会遇到下面的问题:
比较一个企业不同季度的产值,国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小,转化成数学问题,就是比较两个或多个实数的大小,比较实数大小的方法比较多,也比较灵活,现采撷几种常用的方法供大家参考。
一、法则法
比较实数大小的法则是:
正数都大于零,零大于一切负数,两个负数相比较,绝对值大的反而小。
例1比较与的大小。
析解:
由于,且,所以。
说明:
利用法则比较实数的大小是最基本的方法,对于两个负数的大小比较,可将它转化成正数进行比较。
二、平方法
用平方法比较实数大小的依据是:
对任意正实数a、b有:
。
例2比较与的大小。
析解:
由于,而,所以。
说明:
本题也可以把外面的因数移到根号内,通过比较被开方数大小来比较原数的大小,目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。
三、数形结合方法
用数形结合法比较实数大小的理论依据是:
在同一数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
例3若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示,试比较a、-a、b、-b、c、-c的大小。
析解:
如图2,利用相反数及对称性,先在数轴上把数a、-a、b、-b、c、-c表示的点画出来,容易得到结论:
四、估算法
用估算法比较实数的大小的基本思路是:
对任意两个正实数a、b,先估算出a、b两数的取值范围,再进行比较。
例4比较与的大小。
析解:
由于,故,所以
五、倒数法
用倒数法比较实数的大小的依据是:
对任意正实数a、b有:
例5比较与的大小
析解:
因为,
又因为,
所以
所以
说明:
对于两个形如(,且k是常数)的实数,常采用倒数法来比较它们的大小。
六、作差法
用作差法比较实数的大小的依据是:
对任意实数a、b有:
例6比较与的大小。
析解:
设,
则
所以
七、作商法
用作商法比较实数的大小的依据是:
对任意正数a、b有:
例7比较与的大小。
析解:
设,
,则
即
八、放缩法
用放缩法比较实数的大小的基本思想方法是:
把要比较的两个数进行适当的放大或缩小,使复杂的问题得以简化,来达到比较两个实数的大小的目的。
例8比较与198的大小。
析解:
由于
所以
取n=2,3,4…10000代入上式,并将所得的不等式相加得:
即
所以
两个实数大小的比较,方法多种多样,在实际操作时,根据要比较的数的特点来选择适当的方法进行比较,才能方便快捷地取得准确的结果。
编辑本段1.数轴比较法
数轴的基本性质:
实数与数轴上的点一一对应。
利用这条性质,将实数的大小关系转化为点的位置关系。
设数轴的正方向指向右方,则数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数要大。
如图,点A表示数a,点B表示数b。
因为点A在点B的右边,所以数a大于数b,即a>b.
数轴
编辑本段2.作差比较法
若a-b>0,则a>b;
若a-b=0,则a=b;
若a-b<0,则a
编辑本段3.作商比较法
设b>0,有
若a/b>1,则a>b;
若a/b=1,则a=b;
若a/b<1,则a
当b<0,a<0时:
若a/b>1,则ab
编辑本段4.倒数比较法
若a>b>0,则1/a<1/b;
若a1/b;
若a<0
比较实数大小的技巧
周启东
任意两个实数之间,都存在着“顺序”关系,所以可以比较它们的大小。
实数的大小比较是实数内容中常见的题型之一。
要想解题时得心应手,就应掌握比较大小的若干技巧。
实数的大小比较,一般采用以下几种方法。
一、比较被开方数法
一般地,当a>0,b>0时,如果a>b,那么。
也就是说,两个正数,较大的正数的算术平方根也较大,其立方根也较大。
反之也成立。
例1、比较大小:
(1);
(2)。
解析:
若要比较形如的两数的大小,可先把根号外的因数a与c移入根号内,再根据被开方数的大小进行比较。
(1)因为,且,所以,因此,。
(2)因为,且,所以,所以。
因此,。
二、添加根号法
若a>0,则。
在比较一个有理数和一个无理数的大小时,常选用此式。
例2、比较的大小。
解析:
因为,又因为,于是,即。
三、乘方法(平方法或立方法)
如果a>0,b>0,若,那么a>b;若,那么a>b。
例3、比较大小:
(1);
(2)。
解析:
(1)因为,而12<18,所以。
(2)因为,而
,所以。
四、取近似值法(估算法)
在比较两个无理数的大小时,如果有计算器,可以先用计算器求出它们的近似值。
不过取近似值时,要使它们的精确度相同。
再通过比较它们的近似值的大小,从而确定它们的大小。
如果没有计算器,则可用估算法。
先估算出两数或两数中某部分的取值范围,再进行比较。
例4、比较大小:
(1);
(2)。
解析:
(1)因为所以。
又因为,所以。
(2)因为,所以,所以。
五、作差法
作差法的基本思路是,设a、b为任意两个实数,先求出a与b的差。
当时,得到a>b;当时,得到a
例5、比较的大小。
解析:
因为,所以。
六、作商法
作商法的基本思路是,设a、b为任意两个正实数,先求出a与b的商。
当时,ab;当时,a=b。
例6、比较的大小。
解析:
因为,所以。
七、放缩法(中间值法)
如果a 若通过放缩能够确定两个实数中的一个比某个数小,而另一个恰好比该数大时,可选用此法。 例7、比较的大小。 解析: 因为,所以。 所以,即。 八、不等式性质法 例8、比较大小: 。 解析: 因为,所以,因此。 九、特殊值法 在解决含有字母的选择题或填空题时,常常可以采用特殊值法,这样能够比较快捷地得到答案。 例9、已知x A、M 解析: 根据条件,不妨设,则M=4,N=1,。 不难得到: N 因此,应选D。 十、数轴比较法 数轴上的点与实数成一一对应的关系,数轴上的靠右边的点表示的数大于靠左边的点表示的数。 例10、已知a、b是实数,且。 试比较a,b,-a,-b的大小关系。 解析: 因为,故可将a、b两数在数轴上表示出来,如图1。 又因为a与与互为相反数,根据相反数的几何意义,a与,在数轴上可表示为图2。 所以的大小关系是。 十一、法则比较法 正数大于0,0大于负数,正数大于负数。 两个正数,绝对值大的数较大;两个负数,绝对值大的数反而较小。 例11、已知a、b是实数,且a<0 解析: 因为a<0,b>0,则ab<0。 又c≠0,则,所以,为负数。 而b>0,,所以,为正数。 所以。 十二、根式定义法 该法适用于二次根式和三次根式的大小比较。 例12、比较的大小。 解析: 根据平方根的定义可知。 所以,故。 而。 十三、倒数法 倒数法的基本思路是,设a、b为任意两个正实数,先分别求出a与b的倒数、,再根据当时,a 例13、设,则a、b、c的大小关系是()。 A、a>b>cB、a>c>bC、c>b>aD、b>c>a 解析: 当几个式子中的被开方数的差相等且式子中的运算符号相同时,可选用倒数法。 首先,, , 。 因为,所以,则b>c。 又因为,所以,则a>b。 由此可得: a>b>c。 故选A。 十四、分子有理化法 例14、比较的大小。 解析: , 。 因为,故,所以。 总之,具体使用什么方法来进行比较,应当根据题目所给的实数的类型或形式灵活选用。 实数大小的比较方法 安徽省长丰县钱集中学杨明星 在实数范围内比较两个数的大小,看起来比较简单。 但也有一些题目会让大家比较棘手。 我在多年的教育教学中发现,比较两个实数的大小可用一些特殊的方法做起来比较容易。 下面介绍几种比较两个实数大小的方法,供大家参考。 一、求差法 例1: 比较与的大小。 分析: 由于本题的分母相同,所以只要比较1与-2的大小。 解∵1-(-2) =1-+2 =3-﹥0。 (3=,﹥) ∴1﹥-2, ∴﹥。 说明: 若a、b为实数,a-b﹥0则a﹥b;a-b=0则a=b;a-b﹤0则a﹤b。 以后做题时遇到同分母或同分子的问题时可用上面的方法。 二、求商法 例2: 有两个数A=、B=比较A、B的大小。 分析: 本题在不用计算器的前提下对于初中生来说并不容易。 通过观察可以发现分子、分母都可以分解因数。 分子含有公因数: 111,分母含有公因数: 1111。 因此可采用两数相除的方法,问题就
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