六年级奥数第18讲加法乘法原理教师版Word文档格式.docx
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5+9=14(种)
②从两个盒子中各取一个小球共有:
5×
9=45(种)
例2、从1到399的所有自然数中,不含有数字3的自然数有多少个?
【解析】从1到399的所有自然数可分成三类。
一位数中不含3的有8个,1、2、4、5、6、7、8、9。
两位数中,不含3的可以这样考虑:
十位上不含3的有1、2、4、5、6、7、8、9共八种情况;
个位上,不含3的有0、l、2、4、5、6、7、8、9这九种情况,要确定一个两位数,可以先取十位数字,再取个位数字,应用乘法原理,这时共有8×
9=72个数字不含3。
三位数中,小于400并且不含数字3的可以这样考虑:
百位上不含3的有l、2这两种情况,十位上和个位上不含3的有0、1、2、4、5、6、7、8、9这九种情况。
在从1到399中,不含3的一位数有8个;
不含3的两位数有8×
9=72个;
不含3的三位数有2×
9×
9=162个。
由加法原理,在从1到399中,共有:
8+72+162=242(个)不含3的自然数。
例3、用5种颜色给图1的五个区域染色,相邻的区域染不同的颜色,每个区域染一种颜色。
问:
共有多少种不同的染色方法?
【解析】由图1可知A与D、B与E不相邻,它们之间有同色和不同色两类变化。
考虑当A、D染同色时,根据乘法原理。
当A、D染同色时,有:
4×
3+5×
3×
2=60+120=180(种)
当A、D染色不同时,有:
2+5×
2×
1=120+120=240(种)
根据加法原理:
180+240=420(种)
答:
共有420种不同的染色方法。
例4、学校羽毛球队有12名男队员,10名女队员。
(l)要挑选一名男队员和一名女队员组成一对男、女混合双打选手,有多少种不同的搭配方法?
(2)该羽毛球队在比赛中获团体总分第一名,学校选一名运动员去领奖,有多少种选法?
【解析】
(l)组成男、女混合双打选手,先挑选男队员有12种方法,再挑选女队员有10种方法,根据乘法原理可求有多少种不同的搭配方法。
(2)选一名运动员去领奖,从男队员中选有12种选法,从女队员中选有10种方法,根据加法原理可求有多少种选法。
(1)根据乘法原理,组成男、女混合双打选手有:
12×
10=120(种)
(2)根据加法原理,选一名运动员去领奖有:
12+10=22(种)
例5、找出图2中从A点出发,经过C点和D点到B点的最短路线,共有多少条?
【解析】要找出从A到B共有多少条不同的最短路线,只要根据加法原理找出A点到图上每个交点的最短路线,便可得到。
如图3所示,从A到、走最短路线只有1种方法,而从A到有、两种路线。
根据同样的道理可推算出A到图上各点的走法数。
先运用加法原理进行推算,A→C有6种走法。
再用同法得出C→D、D→B的走法数,再用乘法原理可得出从A→C→D→B的最短线路。
从A到C有6种走法,再以C为起点,用相同的办法得出到D的走法有10种。
从D到B的走法也有6种。
运用乘法原理得出,从A经C、D到B的最短不同线路共有
6×
10×
6=360(种)。
例6、现有壹元的人民币4张,贰元的人民币2张,伍元的人民币5张,如果从中至少取一张,至多取11张,那么共可以配成多少种不同的钱数?
【解析】33(种)
例7、由数字1、2、3、4、5、6、7、8、9可组成多少个①三位数?
②三位偶数?
③没有重复数字的三位偶数?
④百位为9的没有重复数字的三位数?
⑤百位为9的没有重复数字的三位偶数?
【解析】要组成三位数,需一位一位地确定各个数位上的数字,即分三步完成,如,组成三位数可先从百位上考虑起,百位有9种选择方法,依次十位和个位也各有9种选择方法,根据乘法原理可求。
若要排成偶数,则要考虑到尾数的排法只有4种,即只能排2、4、6、8。
若要排成无重复数字的数,则须考虑到确定一个数位的选法之后,下一个数位的选法会减少。
①组成三位数,百位、十位、个位各有9种选法,由乘法原理可知有:
9×
9=729(种)。
②组成三位偶数,个位有4种选法,百位、十位各有9种选法,那么有:
4×
9=324种)。
③无重复数字三位偶数,个位有4种选法,十位有(9-l)种选法,百位有(9-1-l)种选法,那么共有:
8×
7=224(种)。
④百位为9的无重复数字的三位数,百位有1种选法,十位有8种选法,个位有7种选法,那么共有:
1×
7=56种)。
⑤百位为9的无重复数字的三位偶数,百位有一种选法,个位有4种选法,十位有(9-2)种选法。
那么共有:
l×
7=28(种)。
例8、有A、B、C、D、E五人排成一队,A不许站排头,B不许站排尾,共有多少种不同排法?
12345
【解析】我们从排头到排尾依次编号为1、2、3、4、5。
由于A不能站排头,所以我们可考虑A的站位,再由B不能站排尾,考虑B的站位,然后再考虑C、D、E的站位;
同时,我们也可以换个角度:
从所有可能的站位情况,扣去A站排头或B站排尾的情况,从而得到所有不同排法。
解法一:
先讨论A的站位:
(1)A站在5号位置上,则A只有一种站法,B有4个不同位置可站,C有3个不同位置可站,D有两个不同位置可站,E只有1个位置可站,由乘法原理,在这种站位方式下有
1×
1=24(种)不同的排队方法。
(2)A站在2、3、4号3个位置之一。
此时A有3个位置可站,B不能站在5号位,也只有3个位置可站,C有3个位置可站,D有2个位置可站,E有1个位置可站,由乘法原理,在这种站位方式下有:
3×
1=54(种)不同的排队方法。
最后,由加法原理,共有24+54=78(种)不同的排队方法。
解法二:
五个人任意排队,共有5×
1=120(种)不同的方法。
A站排头有4×
1=24(种)不同的排法;
B站排尾有4×
但这两种方法有重复,即A站排头且B站排尾;
有3×
1=6(种)不同的排法。
因此,由容斥原理,A站排头且B不站排尾的排队方法总数是:
120-42=78(种)。
答:
符合要求的排队方法共有78种。
Ø
课堂狙击
1、书架上有6本不同的画报、10本不同科技书,请你每次从书架上任取一本画报、一本科技书,共有种不同的取法?
【解析】第一步:
取一本画报,有6种方法;
第二步:
取一本科技书,有10种方法。
根据乘法原理:
一共有6×
10=60(种)
2、用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字,能够组成个没有重复数字的三位数?
排百位数字,有9种方法(0不能作首位);
排十位数字,有9种方法;
第三步:
排个位数字,有8种方法。
一共有9×
8=648(个)没有重复数字的三位数。
3、书架上有不同的数学书20本,不同的语文书10本,现从书架上取书,试问:
(1)取出一本书,有______种不同的取法。
(2)取出数学书和语文书各一本,有______种不同的取法。
(1)取出一本书,若是数学书有20种取法,若是语文书,有10种取法,总共有:
20+10=30(种)取法。
(2)取出数学书和语文书各一本,可以分两步完成:
先取出数学书,有20种取法;
再取出语文书,又有10种取法。
由乘法原理,总共有20×
10=200(种)取法。
4、从1~9这9个数字中每次取出2个不同的自然数相加,和大于10的选法共有多少种?
【解析】要使和大于10,加数不能取1。
我们可以采取枚举法。
一个加数为2时,2+9=11,
一个加数为3时,3+9=12,3+8=11
一个加数为4时,4+9=13,4+8=12,4+7=11
一个加数为5时,5+9=14,5+8=13,5+7=12,5+6=11
一个加数为6时,6+9=16,6+8=14,6+7=13
一个加数为7时,7+9=16,7+8=15
一个加数为8时,8+9=17
于是符合条件的选法共有1+2+3+4+3+2+1=16(种)。
5、现有长度为1、2、3、4、5、6、7、8、9单位长度的铁丝各一条,从中选出若干条来组成正方形,问有多少种不同的选法?
【解析】这些铁丝总的长度为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,所以所组成的正方形最长边为11。
(1)边长为11时,由于19+2=8+3=7+4=6+5
因此可取长度为2、3、4、5、6、7、8、9的铁丝,按(9,2),(8,3),(7,4),(6,5)分组,
可得边长为11的正方形一个,显然,这只能有一种选择。
(2)边长为10时,由于10=9+1=8+2=7+3=6+4
取长度为1、2、3、4、6、7、8、9可得到1个边长为10的正方形。
(3)边长为9时,由于9=8+1=7+2=6+3=5+4
从而可以取下列四组数构成一正方形:
9,(8,1),(7,2),(6,3);
9,(8,1),(7,2),(5,4);
9,(8,1),(5,4),(6,3);
9,(8,1),(7,2),(6,3),(5,4)
共有5种不同选择。
(4)边长为8时,由于8=7+1=6+2=5+3
可得到一个正方形。
(5)边长为7时,由于7=6+1=5+2=3+4
可是得到一个正方形。
当边长小于7时,无法组成正方形。
从而满足题意的有1+1+5+1+1=9(种)不同选法。
6、将1、2、3、4这4个数字从小到大排成一行,在4个数中间任意插入乘号,可以得到______个不同的乘积(要求最少有一个乘号)。
【解析】显然,乘号只能放在1和2、2和3、3和4之间。
在1和2之间,有放与不放两种可能,在2和3之间,有放与不放两种可能,同样在3和4之间也有放与不放两种可能,
所以总共有:
2×
2=8(种)放法,
但必须排除其中三个位置均不放乘号的可能性,所以共有7种放法。
7、用红、绿、黄、蓝四种颜色分别去涂图中的A、B、C、D四个区域,要求相邻区域不可同色,共有______种不同涂法。
【解析】因为A、C、D相互隔开,而B与它们均相连,故选择先涂
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