常微分方程的数值解法及其应用_精品文档.doc
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重庆理工大学毕业论文常微分方程的数值解法及其应用
引言
自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画。
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。
物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程,如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律,能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨幅趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等,对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。
因此,常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学,而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
它的学术价值是无价的,应用价值是立竿见影的。
求一阶常微分方程的解是数学工作者的一项基本的且重要的工作。
由于国内外众多数学家的努力,使此学科基本上形成了一套完美的学科体系;由于该问题比较复杂且涉及的面广,使得有些问题的解析解很难求出,而对于一些典型的微分方程(如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等)可以运用基本方法求出其解析解,并在理论上可以根据初值问题的条件把其中的任意常数完全确定下来。
然而,在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程往往很复杂,在很多情况下都不可能给出解的解析表达式,有时即使能求出形式的解,也往往因计算量太大而不实用,而且高次代数方程求根也并不容易,所以用求解析解的方法来计算微分方程的数值解往往是不适宜的。
实际上,对于解微分方程初值问题,一般只要求得到解在若干个点上的近似解或者解的便于计算的近似表达式(只要满足规定的精度就行)。
所以,研究数学建模中常微分方程模型理论性数值解法迫在眉睫。
本文研究的数值解法主要是针对常微分方程初值问题多种数值解法精度比较而言。
从而得到更常用的数值解法在微分方程模型中的应用。
在自然科学和经济的许多领域中。
常常会遇到一阶常微分方程的初值问题
这里是充分光滑,即关于或满足李普希茨条件的二元函数,是给定的初始值,称为初始条件。
常微分方程初值问题的数值解法一般分为两大类:
单步法:
所谓单步法是指这类方法在计算时,只用到前一步的值,然后逐步往下计算。
这个算法的代表是龙格——库塔算法,简称R—K方法。
四阶显示Runge——Kutta方法是求解普通常微分方程初值问题数值解法中的重要方法,而隐式Runge——Kutta公式是求解刚性常微分方程初值问题的重要方法。
多步法:
这类方法在计算时,除了用到前一步的值,之外,还要用到
,
这前面步的值,这个算法的代表就是阿达姆斯(Adams)方法。
一般用微分方程建立的动态模型来描述动态过程的变化规律,但对于某些实际问题,建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态,而是研究某种意义下稳定状态的特征,特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势,为了分析这种稳定与不稳定的规律,常常不需要求解微分方程,而可以利用微分方程的稳定性理论,直接研究平衡状态的稳定性就行了。
微分方程的数值解法有显式解和隐式解法,一般来说,隐式解要优于显式解。
欧拉方法是一种最简单的单步法,计算量小,但精确度比较低。
一般的初值问题,多采用改进的欧拉方法,因为它的数值稳定性和计算精确度比一般的欧拉方法好。
龙格——库塔方法是一类应用较广的高精度单步法,当解充分光滑时的4阶龙格——库塔方法一般可以达到很高的精确度。
常微分方程的初值对计算方法的收敛是有影响的。
为了更好地比较这几种常用的方法,本文采用这几种数值方法对被积函数光滑连续,初值精确的微分方程做了数值试验。
第一章微分方程的基本概念
自变量、未知函数均为实值的微分方程称为实值微分方程;未知函数取复值或自变量及未知函数均取复值时称为复值微分方程。
在本文中只讨论实值微分方程。
1.1微分方程和解
含有未知量的等式称为方程,它表达了未知量所必须满足的某些条件。
方程是根据对未知量所进行的运算来分类的,如代数方程、超越方程等。
微分方程与代数方程和超越方程不同,它的未知量是函数,对其所施加的运算涉及求导或微分。
1.1.1微分方程的概念
一般说来,微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数或微分的关系式。
如果其中未知函数是一元函数,则称为常微分方程;如果未知函数是多元函数,并且在方程中出现偏导数,则称为偏微分方程。
本论文主要介绍常微分方程,也简称微分方程或方程。
在一个微分方程中,出现的未知函数导数的最高阶数,称为方程的阶。
以为未知函数,为自变量的一阶常微分方程的一般形式可表示为
(1.1.1)
如果在(1.1.1)中能将解出,则得到方程
(1.1.2)
或
(1.1.3)
也称(1.1.1)为一阶隐式微分方程,(1.1.2)为一阶显式微分方程,(1.1.3)为一阶微分方程的微分形式。
阶隐式方程的一般形式为
(1.1.4)
阶显式方程的一般形式
(1.1.5)
方程(1.1.4)中,如果函数对未知函数和它的各阶导数都是一次的,则称其为线性常微分方程,否则,称其为非线性微分方程。
以为未知函数,为自变量的阶线性微分方程具有如下形式:
(1.1.6)
1.1.2微分方程的解——通解与特解
定义1.1设函数在区间上具有直到阶的导数。
如果把代入方程(1.1.4),有
在区间上关于恒成立,则称为方程(1.1.4)在区间上的一个解。
依据定义1.1可以直接验证:
(1)函数是方程在区间上的解,其中是任意常数。
另外,该方程还有两个解,它们不包含在前面解中。
(2)函数是方程在区间上的解,其中
和是独立的任意常数。
当然,都是方程的解,它们包含在前面解中。
从上面的讨论中看到事实:
微分方程的解可以包含任意常数,其任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等,也可以不含任意常数。
阶常微分方程(1.1.4)的含有个独立的任意常数的解称为该方程的通解,而方程满足给定条件的解称为特解。
一般地,方程的特解可由其通解中任意常数取确定的常数导出。
以隐函数形式表示的通解称为通积分,而以隐函数形式表示的特解称为特积分,对于通解或者通积分的说法或使用,通常是不加区分的。
另外方程的通解不一定表示方程的所有解。
为了便于研究方程解的性质,常常需要考虑解的图像,或者以图形方式表示微分方程的解。
一阶微分方程的特解的函数图像是平面上的一条曲线,称为微分方程的积分曲线,而通解的函数图像是平面上的一族曲线,称为积分曲线族。
1.2常微分方程初值问题的一般提法
常微分方程初值问题的一般提法是求函数,满足
其中是已知函数,是已知值。
假设在区域上满足条件:
(1)在上连续;
(2)在上关于变量满足Lipschitz条件:
(1.2.3)
其中常数称为Lipschitz常数。
我们简称条件
(1)、
(2)的基本条件。
由常微分方程的基本理论,我们有:
定理1.1当在上满足基本条件时,一阶常微分方程初值问题(1.2.1)、(1.2.2)对任意给定存在唯一解在上连续可微。
定义1.2方程(1.2.1)、(1.2.2)的解称为适定的,若存在常数和,对任意满足条件及的和,常微分方程初值问题
(1.2.4)
存在唯一解,且。
适定问题的解连续依赖于(1.2.1)右端的和初值。
由常微分方程的基本理论,还有:
定理1.2当在上满足基本条件时,微分方程(1.2.1)、(1.2.2)的解是适定的。
在本章中假设在上满足基本条件,从而(1.2.1)、(1.2.2)的解存在且适定。
一般的一阶常微分方程组初值问题是求解
(1.2.5)
(1.2.5)的向量形式是
(1.2.6)
其中
记。
类似于定理1.1和定理1.2,有:
定理1.3若映射满足条件
(1)在上是从到上的连续映射;
(2)在上关于满足Lipschits条件;
任意。
则常微分方程组初值问题(1.2.5)存在的唯一的连续可微解而且解是适定的。
高阶常微分方程初值问题一般为
(1.2.7)
其中为给定值。
引进新的变量函数
(1.2.8)
则初值问题(1.2.7)化成了一阶常微分方程组初值问题
(1.2.9)
通过求解(1.2.9)得到(1.2.7)的解。
1.3初值问题数值解基本概念
初值问题的数值解法,是通过微分方程离散化而给出解在某些结点上的近似值。
在上引入结点
称为步长。
在多数情况下,采用等步长,即。
记(1.2.1),(1.2.2)的准确解为,记的近似值为,记为。
求值问题数值解的方法是逼近法,即在计算出后计算。
数值的方法有单步与多步法之分。
单步法在计算时只利用而多步法在计算时不仅要利用还有利用前面已算出的若干个。
我们称要用到的多步法为步法。
单步法可以看作多步法,但两者有很大差别。
步法只能用于的计算,要用其它的方法计算;而且在稳定性上单步法比的多步法容易分析;此外单步法容易改变步长。
单步法和多步法又都有显式方法和稳式方法之分。
单步显式法的计算公式可写成
(1.3.1)
隐式单步法的计算公式可写成
(1.3.2)
在(1.3.2)中右端项显含。
从而(1.3.2)是的方程式,要通过解方程求出。
显式多步法计算公式为
(1.3.3)
而隐式多步法计算公式为
(1.3.4)
右端项含。
多步法中一类常用方法是线性多步法
(1.3.5)
其中是独立于和的常数。
时(1.3.5)是显式的,时是隐式的。
数值解法及方法构造、误差分析等内容。
一些概念和定义在后面的论述中逐步引入。
第二章常微分方程的数值解法
一般说来通过初等积分法求解的方程仅有很少的一些类型,绝大部分从实际问题中提出的微分方程往往求不出其解析解。
而在实际问题中,对于复杂微分方程的求解,一般只需要得到解在若干个点上的近似值或者解的便于计算的近似表达式(只要满足所规定的精度)即可。
本章将选讲关于微分方初值问题的基本数值解法及其matlab程序设计。
2.1微分方程数值解法的一般步骤
一阶微分方程的初值问题为
(2.1)
寻求微分方程初值问题(2.1)的数值解,就是求解函数在一系列离散点(称为结点)上精确值的近似值。
在使用数值解法求解微分方程初值问题时,一般是按一下步骤:
(1)引入点列,其中,称为步长。
为了便于使用计算机进行编程计算,一般取步长为定值,即,
,(2.2)
(2)寻求数值解的方法,即寻求由计算出的递推公式。
(3)利用
(2)中的格式逐步求出近似解。
2.2Euler法
Euler法又称Euler折线法,它是解常微分方程的数值方法中最简单的一种方法。
Euler法的基本思想是:
在每一个小区间上,用一条切线来代替原函数曲线。
从整体上看就是用一条折线来代替解(或积分)曲线,并以此来求取一系列离散结点处函数近似值。
2.2.1Euler法的基本思
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- 微分方程 数值 解法 及其 应用 精品 文档