不等式选讲文档格式.docx
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(5)放缩法.
5.二维形式的柯西不等式
若a,b,c,d€R,则(a2+b2)(c2+d2)>
.(ac土bd)2,当且仅当ad三bc.时等号成立.
二.真题训练
1.设不等式X—2|va(a€N*)的解集为A,且A,2?
a.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)=X+a|+|x—2|的最小值.
2.已知a>
b>
0,求证:
2a3—b3>
2ab2—a2b.
•迺呂e宀0vxv二X)0v-(x)R——(e+X0)JIXF<
gms寸代(x)4汕(L)
•LQ圧殍二e——XIH(x=報HSH•寸
QNe
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£
:
+—m〈+M山。
〈e枷(0)
LLL
^(L)二L-L——一鐸碍IO0人(0+x)4m〈-0——x-——eh(x)4^hsh0
(2)求不等式f(x)>
X2—8x+15的解集.
6.已知函数f(x)=|2x—1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=—2时,求不等式f(x)<
g(x)的解集;
⑵设a>
—1,且当x€I—2,舟)寸,f(x)<
g(x),求a的取值范围.
7.已知f(x)=|ax+1|(a€R),不等式f(x)>
5的解集为{x|x>
2或x<
—3}.
(1)求a的值;
(2)若不等式f(x)—fg卜k在R上有解,求k的取值范围.
8.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:
1
(1)ab+bc+ac<
3;
2.22
⑵b+G+1‘1
3322
9.
(1)设a>
0,证明:
3a+2b>
3ab+2ab;
(2)证明:
a6+8b6+27c6>
2a2b2c2;
⑶若a,b,c为正实数,证明:
a2+4b2+9c2》2ab+3ac+6bc.
10.已知a,b为正实数.a2b2
(1)求证:
b+"
aAa+b;
f1—x2x2
(2)利用
(1)的结论,求函数+—(0<
x<
1)的最小值.
xI—x
11.已知函数f(x)=2以+75二x.
⑴求证:
f(x)w5,并说明等号成立的条件;
(2)若关于x的不等式f(x)w|m—2|恒成立,求实数m的取值范围.
不等式选讲答案
3113
1.解:
⑴因为壬A,且2?
A,所以;
2—2<
a,
且12—2卜a,解得1<
a<
|.
又因为a€N,所以a=1.
⑵因为|x+1|+|x—2|A|(x+1)—(x—2)|=3,
当且仅当(x+1)(x—2)<
0,即一Kx<
2时取到等号.所以f(x)的最小值为3.
332222ll22
2.证明:
2a—b—(2ab—ab)=2a(a—b)+b(a—b)=(a—b)(2a+b)=(a
—b)(a+b)(2a+b).
因为a>
0,所以a—b>
0,a+b>
0,2a+b>
0,
从而(a—b)(a+b)(2a+b)a0,即2a—bA2ab—ab.
3.解:
(1)因为f(x+2)=m—|x|,所以f(x+2)>
0等价于|x|<
m,
由|x|wm有解,得mA0,且其解集为{x|—m<
m}.
又因为f(x+2)>
0的解集为[—1,1],故1.
111
由
(1)知2+药+3C=1,又a,b,c€R+,
由柯西不等式得
[—2a,x<
0,
则h(x)={4x—2a,0<
l2a,x>
a.
由|h(x)|<
2,解得a-—x<
a^.
又已知|h(x)|w2的解集为{x|iwx<
2},
也=1
2'
,
所以彳于是a=3.
2=2
I22,
5.解:
⑴证明:
当x<
2时,f(x)=2-X-(5-x)=—3;
当2<
5时,f(x)=x—2—(5—x)=2x—7,所以一3<
f(x)<
3;
当x>
5时,f(x)=x—2—(x—5)=3.
所以一3<
f(x)<
3.
(2)由
(1)可知,
2时,f(x)>
x2—8x+15?
x2—8x+18<
0?
(x—4)2+2<
0,无解,
所以f(x)>
x2—8x+15的解集为空集;
当2<
5时,f(x)>
x2—10x+22<
0?
5^3<
x<
5+^3,所以f(x)>
x2—8x+15的解集为{x|5—/3<
5};
x2—8x+12<
2<
6,
所以f(x)>
x2—8x+15的解集为{x|5<
6}.
综上,不等式f(x)>
x2—8x+15的解集为{x|5—寸x<
6}.
6.解:
(1)当a=—2时,不等式f(x)vg(x)化为|2x—1|+|2x—2|—x—3v0.设函数y=|2x—1|+|2x—2|—x—3,贝U
;
—5x,xv2,
y=i—x—2Qxw1其图像如图所示.
3x—6,x>
1,
从图像可知,当且仅当x€(0,2)时,y<
0,所以原不等
式的解集是{x|OvXV2}.
⑵当x€|—2,2)寸,f(x)=1+a.
不等式f(x)wg(x)化为1+a<
x+3.
所以x>
a—2对x€I—2,初成立.
a4
故一2》a—2,即卩a<
3.
从而a的取值范围是(—1,4
7.解:
(1)由|ax+1|>
5得ax>
4或ax<
—6.又f(x)>
5的解集为{x|x>
2或x<
—3},
当a>
0时,解得x>
或x<
—a,则a=2;
当a<
0时,经验证不合题意.
综上,a=2.
⑵设g(x)=f(x)-f(|],
.-X,x<
-1,
I1
则g(x)H—3x—2,—1<
—2,
Lx,x>
—2,
由图像可知,g(x)>
故原不等式在R上有解时,k>
—2"
2.222.22
abcabc
(2)因为bA2a,—+cA2b,—+aA2c,故匸+—+—+(a+b+c)A2(a
bcabca
+b+©
2b22
即b+"
C+7Aa+b+c.
bca
2.22abc,所以b+c+aA1.
9.证明:
(1)3a3+2b3—(3a2b+2ab2)=3a2(a—b)—2b2(a—b)=(a—b)(3a2—2b2).
'
VaAb>
0,•a—ba0,3a2—2b2>
0.
•-(a—b)(3a—2b)A0.
•3a3+2b3A3a2b+2ab2.
6,“6,13/86|66c、/22|22«
222
(2)a+8b+27CA3、/27abc_3X3abe_2abc,
•a6+8b6+27c6a2a2b2c2.
(3)va2+4b2A27a24b2=4ab,
a2+9c2A2占29c2=6ac,
4b2+9c2A^4b29c2=12bc,
222
2a+8b+18cA4ab+6ac+12bc,
•••a+4b+9cA2ab+3ac+6bc.
10.解:
法一:
Va>
0,b>
•-(a+b)("
b+bJ=a2+b2+ab+aa2+b2+2ab=(a+b)2.
2b2
•-+—Aa+b,当且仅当a=b时等号成立.
ba
、亠aba+b—ab—ab
法二:
石+a-(a+b)=—aO—
322322
_a—ab—但b—b)_a(a—b—b但一b)
—ab_ab
2
_fa—bHa+b)
_ab,
又Va>
0,.・.(a-baba+bA0,当且仅当a_b时等号成立.
2.2b+■?
Aa+b.
(2)V0<
1,二1—x>
122
由
(1)的结论,得函数y=—匚红+1—xA(1—x)+x=1,
当且仅当1—x=X,即x=2时等号成立•
122
•••函数++(0vxv1)的最小值为1.
x1—x
11.解:
由柯西不等式得(2&
+^/5—x)2w(22+12)[(a/x)2+付"
5—x)2]
=25,
所以f(x)=2运+75—XW5,
当且仅当¥
二"
5”,即x=4时等号成立.
⑵由
(1)知f(x)<
5,
又不等式f(x)w|m—2|恒成立,所以|m—2|>
5,解得mA7或mW—3,
故m的取值范围是(一X,—3]U[7,+X).
9.
4.解:
(1)当a=2时,f(x)+|x—4匸
「一2x+6,x<
2,
{2,2<
4,
bx—6,x>
4.
2时,由f(x)>
4—x—4|得一2x+6>
解得x<
1;
4时,f(x)>
4—|x—4|无解;
4时,由f(x)>
4—x—4|得2x—6>
解得x>
5.
4—|x—4|的解集为{x|xw1或x>
5}.
(2)记h(x)=f(2x+a)—2f(x),
即k的取值范围是[―2,丿
8.解:
(1)由a2*+b2>
2ab,b2+c2>
2bc,c2+a2>
2ac,得a2+b2+c2>
ab
+bc+ac.
由题设得(a+b+©
2=1,即卩a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1.
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