微分中值定理辅助函数类型的构造技巧_精品文档.doc

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辅助函数的几种特殊用法

在高等数学中，证明一些中值等式的题目也是比较困难的。

因为一般我们要花大量的时间去找一个恰当的辅助函数，如果我们能熟悉一些特殊类型题目的辅助函数的构造及相关定理的运用，这样就会为我们解题提供方便，从而节约大量的时间。

为此我们需要牢记以下几种常见题型中辅助函数的特殊用法。

（1）若题目中出现等式“”时，一般可以考虑作辅助函数.

例:

设函数在上可微，且证明：

，，使得

分析:

要证，即证，也就是证函数的零点.注意到，因此，只要检验函数是否满足罗尔中值定理条件，但这是明显的.

证明:

构造辅助函数，，

则在上满足罗尔定理条件，故，使得，

而

，

则

，

即

.

（2）若题目结论中出现等式“”时，可考虑作副主函数，.

例:

设函数在上连续，在内可微.证明：

，使得：

.

证明:

i）若作辅助函数，，，均满足柯西中值定理条件

所以使得

，

即

.

ii）若，由i）可类似得证.

iii）若，，取，即证.

（3）若题目结论中出现“”时，可以考虑作辅助函数，.

例:

设函数在上连续，在内可微.证明：

使得,

证明:

因为

考虑作辅助函数，，显然与在上满足柯西中值

定理条件，所以必，

使得

即

证毕.

（4）若命题结论中出现式“”时，可考虑作辅助函数，.

例:

设函数在上连续，在内可导，证明：

必有，使得.

分析:

我们熟悉，因此作辅助函数，，且知，在给定区间内均满足柯西中值定理条件，故有，即得证.

（5）若题目中出现式“”时，可考虑作辅助函数，.

例:

设函数在上连续，在内可导，则存在使得

证明:

由我们熟悉的，考虑作辅助函数，且在给定的区间内均满足柯西中值定理条件，

于是

，

使得

，

即

，

证毕.

（6）若命题结论中出现等式“”的关系时，可考虑的辅助函数为

例:

设在上连续，，在内可导，且，证明：

使得.

证明:

设，显然在上连续，

而

在在内存在，

且

，

故在上满足罗尔中值定理条件，

于是

必使得

，

所以

，而，所以.

证毕.

（7）若题目中出现等式“”，的关系时，则往往考虑构造辅助函数，因为经过一次求导为，再次求导后，即.

例:

设在上连续，在内二阶可导，且，证明：

，使得

证明:

设辅助函数则，

因为在上连续，在内可导，

且

，

所以由罗尔中值定理知：

必使，

而

，

即

.

证毕.

（8）若题目中出现等式“的关系时，则需构造辅助函数，因为经过一次求导后为，再次求导后得到

例:

设在上连续，在内可导，且，，试证：

必使得

证明：

设，得，

显然在上连续，在内可导，

则

，

故满足罗尔中值定理条件，因此

必使得，

而

，

即

证毕.

（9）若题目结论中出现等式“”，的关系时，则可考虑构造辅助函数

例：

设在上连续，在内可导，且证明：

使得.

证明：

作辅助函数，显然在上连续，在内可导，且

，

故满足罗尔中值定理条件，因此，

必使得，

而

，

由于，

故

.

证毕.

（10）若题目出现等式“”的关系时，则需两次构造辅助函数，第一次构造，第二次构造.

例:

设设在上可导，在内二阶可导，，，试证：

，使得

证明：

因为，所以与同号，设，

即

，所以使得，

，所以，使得

又因为在上可导，故在上连续，即在上连续,

而

，

所以由介值定理（或零点定理），

使得

再看，由题目结论，构造辅助函数

因为

，

所以

，

故

，使得

，使得

因为

，

由

，

可得

令，

所以有

，

即

，

又因为在上连续可导，

所以

，使得，

即

，

而，故

.

证毕.

涉及罗尔定理证明中值等式的命题

罗尔定理:

如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且在区间端点的函数值相等，即.那么在区间内至少有一点，使得在该点的导数等于零，.

题型一：

设函数在上连续，在内可导，且，证明对任何实数，至少存在一点使成立.

分析：

首先从结论看起，欲证，即证，即.而要就促使我们想到去构造辅助函数的思路，即构造的函数应该满足在上连续，在内可导，，，如果这样的话，但是在点和点处都没有定义，所以不满足,从而不是我们所需要的辅助函数，但是注意到指数函数的特点，当对数运算和指数运算相互抵消后得到的新函数的定义域可能会扩大，从而可能成为我们找的辅助函数.若令，则满足以及罗尔定理的其他条件，所以，由罗尔定理得知：

至少使得，而，所以，而，所以只能，即成立，由此就是我们所需构造的辅助函数.

注意：

在分析题目时，如果我们从不同的角度看它就可能会构造不同的辅助函数，也就是说，对于解决同一个题目，所构造的辅助函数可能是不唯一的.

例:

设为上的连续奇函数，且在内可导，又，证明：

对任何实数，都存在使得.

证法一:

由题型一的结论可作辅助函数，则在上连续，

又因为

在内存在，且

，（），

所以它满足罗尔定理条件，

故必，使得，即.

证毕.

证法二:

若设，则在上连续，

且

在内存在，

又因为

，，所以它满足罗尔定理条件，

故必，使得.

证毕.

题型二:

证明，使得.

分析:

仍然从结论入手，把变形，且将变为，则有，而有一个原函数，由题型一，最好将辅助函数作为.

例:

取函数在上连续，在内可导，且，试证明在内至少存在，使得.

分析:

由该题型的辅助函数为可知，待证等式中的，从而得到，将改为即，因此辅助函数.

证明:

取辅助函数.则在上连续，在内可导，且，满足罗尔定理，

故必使得，

由于

，

将带入上式，并去掉非零因子，即得证原式成立.

附注:

读者可将题型二的取为或带入将得到一系列的命题.

题型三：

证明存在使得构造的辅助函数

例:

设函数在上连续，在内可导，，，证明：

存在，使得.

分析:

待证等式可变形为，即.与题型二的一般形式进行比较可知为-2的情况，因此可作辅助函数.

证明:

取辅助函数，则易知在上连续，在内可导，且，由罗尔定理，至少存在一点使得，

由于

，

将带入上式，

即有，故.

证毕.

附注:

由题型三可以演变出一系列的题型.

如：

证明存在使，，

构造的辅助函数

例:

设函数在二阶可导，，求证：

存在，使得.

证明:

取辅助函数.由于，在上二阶可导，对在上应用罗尔定理，

则必存在

使得，于是有，

因为

且在上可导，

对在上应用罗尔定理，必存在使得，

由于

，

将带入上式，并去掉非零因子，即证得原式成立，

证毕.

题型四:

证明存在使得，为常数.

（注意:

此题型需要构造两次辅助函数，第一次构造；第二次构造）.

例:

设函数在上连续，在内二阶可导，，，求证：

存在，使得

证明:

由，不妨设，，

由导数的几何意义，

在的右领域中存在,使得，

在的左领域中存在，使得，

且令，则由应用零点定理可知存在，使得

，

取，

则在上可导，且，所以分别在和上应用罗尔定理，存在使得；，使得.

因此

，，

令，

则

在内可导，

由于在上应用罗尔定理，存在，

使得

，

由于

，

故有

，

证毕.

提示:

其实在涉及一些利用罗尔中值定理证明一些等式的时候，一般都是先从题目的结论入手，把结论中的等式经过变形后，观察该式，看看什么样的函数经过求导后（一次或两次等）含有如结论中的式子作为因子，则我们一般就取这样的函数为我们需要找的辅助函数.但是需要强调一点，就是我们选取的辅助函数在题目给定区间要有意义，且满足罗尔定理的条件，这种就是前面所讲的原函数法.

涉及拉格朗日中值定理证明中值等式的命题

拉格朗日中值定理：

如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在区间内至少有一点,使等式成立.亦即成立.

例:

设函数在上连续，在内可导，，证明：

存在使得.

分析:

先将等式变形，即有，通过观察，我们会发现等式的右边是（，，）形式，因此构造的辅助函数，再观察等式左边可知，从而得到辅助函数，通过拉格朗日中值定理寻找与的相同部分，得出待证结论.

证明:

取辅助函数，易知在上满足拉格朗日中值定理条件.则存在

使得

又，

所以

（1）

取，易知在上满足拉格朗日中值定理条件，

则

（2）

比较

（1）

（2）可得，

即

，

证毕.