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7.在自然推理系统P中构造下面推理的证明:
(1)前提:
p》q,一(qr),r
结论:
一p
(2)前提:
q—p,q『s,s=t,tr
pq
8.在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理:
前提:
p—(q—r),s—p,q
s_.r
9.在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理:
p、—q,q,r-s
_p
参考答案:
1.
(1)pV(qAr)=0V(0A1)=0
(2)(p?
r)A(「qVs)二(0?
1)A(1V1)二0A1=0
(3)(一pA一qAr)?
(pAqA「r)二(1A1A1)?
(0A0A0)=0
(4)(一rAs)—(pA-q)二(0A1)—(1A0)二0—0=1
2.p:
二是无理数1
q:
3是无理数0
r:
2是无理数1
s:
6能被2整除1
t:
6能被4整除0
命题符•
号化为:
pA(q—r)A(t—s)的真值为1,所以这一段的论述为真。
3.
(1)
p
q
p—q
_q
_p
_q—_p
(p—q)—(一q—一p)
1
所以公式类型为永真式
(2)公式类型为可满足式(方法如上例)
(3)公式类型为永真式(方法如上例)
4.
(2)(p—(pVq))V(p—r)=(一pV(pVq))V(一pVr)=_pVpVqVr=1
(3)PqrpVqpAr(pVq)—(pAr)
000001
所以公式类型为可满足式
5.证明
(1)(p—q)A(p
—r)
(—pVq)A(—pVr)
一PV(qAr))
:
二p—(qAr)
(2)(pA-q)V(一pAq)=(pV(一pAq))A(-qV(一pAq)
二(pV一p)A(pVq)A(一qV_p)A(_qVq)
二1A(pVq)A一(pAq)A1
=(pVq)A-(pAq)
(1)主析取范式
(一p—q)—(一qp)
二「(p\/q)”(「qwp)
=(一P_q)(一qp)
-(_p_q)(一qp)(—q_p)(pq)(p_q)
u(—p_q)(p_q)(pq)
=m0m2m3
-刀(0,2,3)
主合取范式:
(_p—q)—Lqp)
=「(p口)"
「qwp)
=(一p_q)(一qp)
=(—p(—qp))(—q(一qp))
=1(p-q)
:
=(p_q):
=M1
二n⑴
(2)主合取范式为:
—(p—q)qr=一(一pq)qr
-(p—q)qr=0
所以该式为矛盾式•
主合取范式为n(0,1,234,5,6,7)
矛盾式的主析取范式为0
(3)主合取范式为:
(P(qr))—(pqr)
二_(p(qr))—(pqr)
=(一p(一q-r))(pqr)
u(一p(pqr))((一q一r))(pqr))
二11
-1
所以该式为永真式•
永真式的主合取范式为1
主析取范式为刀(0,1,2,3,4,5,6,7)
7.
证明:
(1)
①一(qr)
前提引入
②一q一r
①置换
③q•_r
②蕴含等值式
④r
⑤—q
③④拒取式
⑥p—;
q
⑦」p(3)
⑤⑥拒取式
证明
(2):
①tr
②t
①化简律
③q—s
④Sit
⑤q—t
③④等价三段论
⑥(q—;
t)
(t—;
q)⑤置换
Sq》t)
⑥化简
⑧q
②⑥假言推理
⑨q—;
p
⑩p
⑧⑨假言推理
(11)Pq
⑧⑩合取
8.
证明
①s
附加前提引入
②SrP
③P
①②假言推理
④p—;
(q—;
r)前提引入
⑤q-r
③④假言推理
⑥q
⑦r
⑤⑥假言推理
9.证明:
①p
结论的否定引入
②p'
「q
③厂q
rq
⑤「r
④化简律
⑥r「s
⑥化简律
⑧r「r
⑤⑦合取
由于最后一步r「r是矛盾式,所以推理正确.
第二章部分习题及参考答案
1.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:
(1)对于任意x,均有務r2=(x+廡)(xT爲).
(2)存在x,使得x+5=9.
其中(a)个体域为自然数集合.
(b)个体域为实数集合.
2.在一阶逻辑中将下列命题符号化:
(1)没有不能表示成分数的有理数•
(2)在合肥卖菜的人不全是外地人.
3.在一阶逻辑将下列命题符号化:
(1)火车都比轮船快•
(3)不存在比所有火车都快的汽车•
4.给定解释I如下:
(a)个体域D为实数集合R.
(b)D中特定元素:
=0.
(c)特定函数_(x,y)=x—y,x,yD.
(d)特定谓词W(x,y):
x=y,(x,y):
x<
y,x,yD.
说明下列公式在I下的含义,并指出各公式的真值:
(1)—x—y(G(x,y)》_F(x,y))
(2)-x-y(F(f(x,y),a)>
G(x,y))
5.给定解释I如下:
(a)个体域D=N(N为自然数集合).
(b)D中特定元素:
=2.
(c)D上函数也迫)=x+y,(x,y)=xy.
(d)D上谓词E(x,y):
x=y.
说明下列各式在I下的含义,并讨论其真值.
(1)xF(g(x,a),x)
(2)xy(F(f(x,a),y)-F(f(y,a),x)
6.判断下列各式的类型:
⑴?
..-'
:
_1
(2)----yF(x,y).
7.给定下列各公式一个成真的解释,一个成假的解释。
(1)■,(F(x)呛(幼
(2)》(F(x)G(x)H(x))
8.给定解释I如下:
(a)个体域D={3,4};
(b)f(x)为f(3)=4,f(4)=3
(c)F(x,y)为F(3,3)=F(4,4)=0,F(3,4)=F(4,3)=1.
试求下列公式在I下的真值•
(1)-xyF(x,y)
(3)-x-y(F(x,y)>
F(f(x),f(y)))
9.求下列各式的前束范式。
(1)-xF(x)r..yG(x,y)
(2)XjF(X1,X2)>
(H(xJ>
-X2G(x「X2))
10.在自然数推理系统F中,构造下面推理的证明:
xF(x)>
-y((F(y)G(y))>
R(y)),xF(x)
xR(x)
-x(F(x)-(G(a)AR(x))),:
xF(x)
结论:
>
(F(x)AR(x))
1.解:
F(x):
v=2=(x+媚)(x=鼻).
G(x):
x+5=9.
(1)在两个个体域中都解释为_xF(x),在(a)中为假命题,在(b)中为真命题。
⑵在两个个体域中都解释为xG(x),在(a)(b)中均为真命题。
2.解:
(1)F(x):
x能表示成分数
H(x):
x是有理数
命题符号化为:
一x(—F(x)H(x))
(2)F(x):
x是合肥卖菜的人
x是外地人
一-x(F(x)>
H(x))
3.解:
x是火车;
x是轮船;
H(x,y):
x比y快
-x-y((F(x)G(y))_;
H(x,y))
⑵
(1)F(x):
x是火车;
x是汽车;
x比y快
命题符号化为:
-y(G(y)-x(F(x)_;
H(x,y)))
4.答:
(1)对于任意两个实数x,y,如果x<
y,那么x=y.真值1.
(2)对于任意两个实数x,y,如果x-y=0,那么x<
y.真值0.
5.答:
(1)对于任意自然数x,都有2x=x,真值0.
(2)对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y,那么y+2=x.真值0.
6.解:
(1)因为p>
(q》p)二—p(—qp)二1为永真式;
所以愍磁p:
區羸能弋JX*磁ji为永真式;
(2)取解释I个体域为全体实数
F(x,y):
x+y=5
所以,前件为任意实数x存在实数y使x+y=5,前件真;
后件为存在实数x对任意实数y都有x+y=5,后件假,]
此时为假命题
再取解释I个体域为自然数N,
x+y=5
所以,前件为任意自然数x存在自然数y使x+y=5,前件假。
此时为假命题。
此公式为非永真式的可满足式。
7.解:
(1)个体域:
本班同学
F(x):
x会吃饭,G(x):
x会睡觉.成真解释
x是合肥人,G(x):
x是巢湖人.成假解释
(2)个体域:
计算机学院的学生
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