一元二次方程韦达定理根与系数的关系练习答案_精品文档.doc
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韦达定理与根与系数的关系练习题
一、填空题
1、关于的方程,当时,方程有两个正数根;
当时,方程有一个正根,一个负根;
当时,方程有一个根为0。
2、已知一元二次方程的两根为、,则 .
3、如果,是方程的两个根,那么.
4、已知,是方程的两实数根,则的值为______.
5、设、是方程的两个根,则.
6、若方程的两根为,则.
7、已知、是关于的方程的两个实数根,且+=,则=.
8、已知关于的一元二次方程的两根为和,且,
则,。
9、若方程的两根之比是2:
3,则.
10、如果关于的方程的两根差为2,那么。
11、已知方程两根的绝对值相等,则。
12、已知方程的两根互为相反数,则。
13、已知关于的一元二次方程两根互为倒数,则。
14、已知关于的一元二次方程。
若方程的两根互为倒数,则;若方程两根之和与两根积互为相反数,则。
15、一元二次方程的两根为0和-1,则。
16、已知方程,要使方程两根的平方和为,那么常数项应改为。
17、已知方程的一个根比另一个根小4,则;;。
18、已知关于的方程的两根立方和为0,则
19、已知关于的方程的两根为、,且,则。
20、若方程与有一个根相同,则。
21、一元二次方程的两根与的两根之间的关系是。
22、请写出一个二次项系数为1,两实根之和为3的一元二次方程:
.
23、已知一元二次方程的两根之和为5,两根之积为6,则这个方程为。
24、若为实数且,则以为根的一元二次方程为。
(其中二次项系数为1)
25、求作一个方程,使它的两根分别是方程两根的二倍,则所求的方程为。
二、解答题
1、已知m,是一元二次方程的两个实数根,求的值。
2、设、是方程的两个根,求的值。
3、已知、是方程的两个实数根,且.
(1)求、及的值;
(2)求的值.
4、已知、是一元二次方程的两个实数根,且,,求和的值。
5、已知,,且,求的值。
6、设:
,且,求的值。
7、已知:
是关于的二次方程:
的两个不等实根。
(1)若为正整数时,求此方程两个实根的平方和的值;
(2)若时,求的值。
8、已知关于的二次方程的一个根是,求另一个根及的值.
9、已知方程的一根是-5,求方程的另一根及的值。
10、已知是的一根,求另一根和的值。
11、
(1)方程的一个根是,则另一个根是。
(2)若关于的方程的两个根中只有一个根为0,那么应满足。
12、如果是方程的一个根,则,另一个根为。
13、已知关于的方程的一个根是-2,求它的另一个根及的值。
14、已知关于的方程的一个根是-2,求它的另一个根及的值。
15、在解方程时,小张看错了,解得方程的根为1与-3;
小王看错了,解得方程的根为4与-2。
这个方程的根应该是什么?
16、已知一元二次方程。
(1)为何值时,方程的一个根为零?
(2)为何值时,方程的两个根互为相反数?
(3)证明:
不存在实数,使方程的两个相互为倒数。
17、方程中的是什么数值时,方程的两个实数根满足:
(1)一个根比另一个根大2;
(2)一个根是另一个根的3倍;
(3)两根差的平方是17。
18、已知一元二次方程,根据下列条件,分别求出的值:
(1)两根互为倒数;
(2)两根互为相反数;
(3)有一根为零;
(4)有一根为1;
20、已知关于的一元二次方程的两根之差为11,求的值。
21、已知关于的二次方程有实数根,
且两根之积等于两根之和的2倍,求的值。
22、已知方程有两个不相等的正实根,
两根之差等于3,两根的平方和等于29,求的值。
23、已知关于的方程的两根满足关系式,求的值及两个根。
24、已知关于的方程的两个实数根的平方和等于6,求的值.
25、是关于的一元二次方程的两个实数根,
且满足,求实数的值.
26、是关于的方程的两个实根,
并且满足,求的值。
27、已知:
是关于的方程的两根,求的值。
28、已知关于的方程,问:
是否存在正实数,使方程的两个实数根的平方和
等于56,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
29、关于的一元二次方程的
两实根之和等于两个实根的倒数和,求的值。
30、已知关于的一元二次方程()的两根之比为,求证:
。
31、已知方程和有一个相同的根,求的值及这个相同的根。
32、已知关于的一元二次方程的两根为,且两个关于的方程与有唯一的公共根,求的关系式。
33、已知、是关于的方程的两根、是关于的方程的两根,求常数的值。
34、已知方程的两实根是和,方程的两实根是和,
求和的值。
35、已知,,为实数,且.求下列各式的值:
(1);
(2)。
36、已知、是关于的方程的两个实数根;、是关于的方程的两个实数根,且,,求、的值。
37、关于的方程有两个乘积为1的实根,
有大于0且小于2的根,求的整数值。
38、已知关于的方程两根相等,方程的一个根是另一个根的3倍。
求证:
方程一定有实数根。
39、已知关于的一元二次方程.
(1)求证:
不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程两根为、,且满足,求的值.
40、关于的方程,其中、分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。
(1)求证:
这个方程有两个不相等的实根;
(2)若方程两实根之差的绝对值是8,等腰三角形的面积是12,求这个三角形的周长。
41、已知关于的方程。
(1)证明:
不论取何值,这个方程总有两个不相等的实数根;
(2)为何值时,方程的两根之差的平方等于16?
42、已知方程的两根之比为,方程的两根相等()。
求证:
对任意实数,方程恒有实数根。
43、如果关于的实系数一元二次方程有两个实数根,
那么的最小值是多少?
44、已知方程的两根为、,且,又知根的判别式,求的值。
45、求一个一元二次方程,使它的两个根是和。
46、已知方程,不解方程,求作一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程的两个根的负倒数。
47、已知方程的两个根分别为、,利用根与系数的关系,求一个一元二次方程,使它的两个根分别是:
(1)、
(2)、
48、已知两数之和为-7,两数之积为12,求这两个数。
49、已知两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数。
50、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm,面积为,求这个直角三角形斜边的长。
51、已知关于的方程的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长,求这个直角三角形的面积。
52、试确定使的根同时为整数的整数的值。
53、已知一元二次方程,且是腰长为7的等腰三角形的底边长,
求:
当取何整数时,方程有两个整数根。
54、已知关于的一元二次方程有两个实根和(),在数轴上,表示的点在表示的点的右边,且相距,求的值。
答案
一、填空题
1、;;
2、
3、6
4、10
5、
6、10
7、-1
8、-2;-8
9、3
10、8
11、0
12、0
13、()
14、-1();()
15、1
16、-2
17、-4;0;0
18、3
19、
20、3或0
21、互为倒数
22、
23、
24、
25、
二、解答题
1、
原式=
2、
3、
(1)解之
(2);∴原式=
4、,解之或()
5、
6、
7、——→,且
(1)时,,;时,,;
(2),即,
化简得,解得
8、
9、
10、
11、
(1);
(2);
12、1
13、
14、
15、所以原方程为,解得
16、
(1)方程的一个根为0,即,此时;
(2)方程的两根互为相反数,即,此时;
(3)方程的两根互为倒数,即,此时,原方程为,()
17、
(1);
(2);(3)
18、
(1)方程的两根互为倒数,即,此时,
(2)方程的两根互为相反数,即,此时;
(3)方程的一个根为0,即,此时;
(4)方程的一个根为1,此时;解得;
19、
20、,解之
21、——→,由题意可得即,解得或(舍)
22、不相等的两正根,则,由题意解得
23、
即
当时,,解得;
当时,,解得
24、,化简得,所以或(舍)
25、∵,∴,解得或(舍)
26、∵,∴解得或(舍)
27、,则有、原式=
28、,化简得,或(舍)
29、即
当时,,解得(舍);
当时,,,解得(舍);
综上所述,
30、不妨设,则有,得,即
31、方法一:
①-②得:
,即
代入①中得:
,解得、
当时,,方程①的解为;方程②的解为,符合题意;
当时,,方程①的解为;方程②的解为,符合题意;
综上所述,当时相同根为;当时相同根为;
方法二:
①-②得:
,即③
代入①中得:
,化简为,解得或
当时由③,相同根为;当时相同根为;
32、①-②得:
,由题意得,所以③
代入①中化简得:
,即,∴
33、
34、
35、,两边同除得,所以是同一方程的两根。
、
(1);
(2)
36、因为、,两式相加得:
即,整理得,解得(舍)
37、∵方程①有两个乘积为1的实根,∴,解得(舍)
当时,方程②化为
即
解得(不符合题意,舍去)
所以,解得;又∵是整数,∴
38、方程①有两根相等,∴
方程②中不妨设,则有,得,即
综上,;此时原方程化为
,所以该方程一定有实数根。
39、
(1),所以该方程总有两个不相等的实数根;
(2),解得
40、
(1),所以该方程总有两个不相等的实数根;
(2)
,
解得,所以三角形周长
41、
(1),所以该方程总有两个不相等的实数根;
(2),解得
42、方程①不妨设,则有,得,即
方程②中有两根相等,∴,即
综上,;此时原方程化为
,所以该方程一定有实数根。
43、,,即
原式=
当时,原式最小,为2×36-54=18
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