公平席位的分配(韩文斌)Word文档下载推荐.doc
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正文
1问题的提出
某学校有3个系共100名学生,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名。
1.1若学生代表会议设20个席位,公平而又简单的席位分配办法是什么?
1.2现在丙系有6名学生转入甲乙两系(其中3人转入甲系,3人转入乙系),现在该如何分配呢?
1.3因为有20个席位的代表会议在表决提案时可能出现10:
10的结局,会议决
定下一届增加1席。
在问题二中人数发生改变后的情况下,这1席又该分给哪个
系呢?
2合理假设与变量说明
假设3个系的总人数不再发生变动,各个系的人数除了问题二中人数的改动之外,不再发生任何改变。
符号
符号说明
3个系的总人数
系的人数=1,2,3
3个系的总席数
系的席数=1,2,3
的余数
系与系的绝对不公平程度
系与系的相对不公平程度
3模型建立
3.1人数比例模型
公平标准,=1,2,3…通过计算总席位与总人数、各系席位数与各系总人数的比例相等,来确定各系的席位数的分配方案。
3.2最大剩余法模型
记…的余数,越大说明系分一个席位代表人数就越多,为了公平降低,则剩余席位优先分给最大的系。
3.3Q值法模型[1]
当总席位增加1席时,计算令,增加1席位应该分配给值最大的一方。
3.3.1不公平指标
为简单起见考虑,两系分配席位的情况。
设两方人数分别为,,占有席位分别为,,则比值,为两方每个席位所代表的人数。
显然仅当分配时才算完全公平的,但是因为人数和席位都是整数,所以通常,分配不公平,并且对比值较大的一方不公平。
不妨设,不公平程度可用衡量。
如设,,,则,它衡量不公平的绝对程度,常常无法区分不公平程度明显不同的情况。
如当双方人数增至,、不变时,则。
即不公平的绝对程度不变,但是常识告诉我们,后面这种情况的不公平程度比起前面来已经大为改善了。
为了改进上述的绝对标准,自然想到用相对标准。
仍设,定义
(1)
(1)即为A方的相对不公平度。
若,定义
(2)
(2)即为对B方的相对不公平度。
3.3.2分配原则
假设A,B两方已经占有席位、。
利用相对不公平度,讨论当总席位增加1席时,应该分配给A还是B
不失一般性可设,大于号成立时对A不公平。
若增设1席分配给A,就变为,分配给B就有,原不等式可能出现以下3种情况(只需讨论不等号的情况,一旦等号出现,按等式状况分配即可)
(1),说明即使A增加1席仍对A不公平,则这一席显然该分给A。
说明即使A增加1席仍对A不公平,则这一席显然该分给A。
(2),说明A增加1席对B不公平。
由
(2)可得出对B的相对不公平度为
(3)
3.3.3,说明B增加1席将对A不公平。
参
(1)可得出对A的相对不公平度为
(4)
在使相对不公平度尽量小的分配原则下,如果(5)
则增加的1席应该分给A,反之分给B。
由(3)(4)两式,(5)式等价于
(6)
同时不难证明上述第1种情况,也会导致(6)式,于是我们的结论是:
当(6)式成立时增加1席位应分给A,反之分给B。
这种方法可推广到有m方分配席位的情况。
设第i方人数为,已占有个席位,i=1,2,3……当总席位增加1席时,计算令,增加1席位应该分配给值最大的一方。
4模型的求解
问题1.1;
模型一的求解:
结果为:
模型二的求解:
结果为:
模型三的求解:
问题1.2;
,比较的余数,发现应该把多出的一席分给3系。
结果为
问题1.3;
,得到的结果为,然后比较的余数大小。
5模型的检验
对于模型三中的第一种情况,即增加的1席分配给A方,变为,
又因为
结合上述两式,得到,即
按照相对不公平度尽量小的原则,增加的一席应该分配给A方,即对第一种情况,仍然包含在中,这说明模型三是正确的。
6应用与推广
值分配法可以用于一系列的席位分配。
7优缺点分析
当总席位=21时,模型三的求解结果为:
,模型三的求解结果为:
,3系保住了按照比例+惯例模型将会失掉的1席。
但是当总席位=20时,模型三的求解结果为:
,所以很难说值分配法对3系有利还是不利。
虽然从值分配法和比例+惯例模型对这个具体问题不同的分配结果看,难以对二者进行评价,但是值分配法有明确的不公平度指标,并且它是每增加1席的计算值,所以值分配法比比例+惯例模型更科学。
参考文献
[1]姜启源,谢金星.数学模型(第四版)[M]北京:
高等教育出版社,2011:
278-281.
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- 公平 席位 分配 韩文斌