立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习)文档格式.doc
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G
P
O
M
N
S
2、代数方法:
分析给定图形中的数量关系,选取适当的自变量及目标函数,确定函数解析式,利用函数的单调性、有界性,以及不等式的均值定理等,求出最值.
轨迹问题
【例1】如图,在正四棱锥S-ABCD中,E是BC的中点,P点在侧面△SCD内及其边界上运动,并且总是保持PEAC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能的是()
A. B. C. D.
解析:
如图,分别取CD、SC的中点F、G,连结EF、EG、FG、BD.设AC与BD的交点为O,连结SO,则动点P的轨迹是△SCD的中位线FG.由正四棱锥可得SB⊥AC,EF⊥AC.又∵EG∥SB
∴EG⊥AC
∴AC⊥平面EFG,
∵P∈FG,E∈平面EFG,
∴AC⊥PE.
另解:
本题可用排除法快速求解.B中P在D点这个特殊位置,显然不满足PEAC;
C中P点所在的轨迹与CD平行,它与CF成角,显然不满足PEAC;
D于中P点所在的轨迹与CD平行,它与CF所成的角为锐角,显然也不满足PEAC.
评析:
动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式,它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形.不但考查了立体几何点线面之间的位置关系,而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法,是表现最为活跃的一种创新题型.这类立体几何中的相关轨迹问题,如“线线垂直”问题,很在程度上是找与定直线垂直的平面,而平面间的交线往往就是动点轨迹.
【例2】
(1)如图,在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足时,有MN∥平面B1BDD1.
(2)正方体ABCD—A1B1C1D1中,P在侧面BCC1B1及其边界上运动,且总保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是线段B1C.
(3)正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是棱A1B1,BC上的动点,且A1E=BF,P为EF的中点,则点P的轨迹是线段MN(M、N分别为前右两面的中心).
(4)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为的点的集合形成一条曲线,那么这条曲线的形状是,它的长度是.
D1
C1
B1
A1
H
(1)
(2) (3) (4)
若将“在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为的点的集合”改为“在正方体表面上与点A距离为的点的集合”那么这条曲线的形状又是,它的长度又是.
【例3】
(1)(04北京)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是(D)
A.A直线B.圆C.双曲线D.抛物线
l
α
变式:
若将“P到直线BC与直线C1D1的距离相等”改为“P到直线BC与直线C1D1的距离之比为1:
2(或2:
1)”,则动点P的轨迹所在的曲线是椭圆(双曲线).
(2)(06北京)平面α的斜线AB交α于点B,过定点A的动直线l与AB垂直,且交α于点C,则动点C的轨迹是(A)
A.一条直线 B.一个圆C.一个椭圆 D.双曲线的一支
解:
设l与l¢
是其中的两条任意的直线,则这两条直线确定一个平面,且斜线AB垂直这个平面,由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A与AB垂直所有直线都在这个平面内,故动点C都在这个平面与平面α的交线上,故选A.
(3)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,M在棱AB上,且AM=,点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1,则点P的轨迹为抛物线.
3
2
(4)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为3,长为2的线段MN点一个端点M在DD1上运动,另一个端点N在底面ABCD上运动,则MN的中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为.
【例4】(04重庆)若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等,则动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是:
(D)
A B C D
【例5】四棱锥P-ABCD,AD⊥面PAB,BC⊥面PAB,底面ABCD为梯形,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠CPB,满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是( )
A.圆 B.不完整的圆 C.抛物线 D.抛物线的一部分
分析:
∵AD⊥面PAB,BC⊥平面PAB
∴AD∥BC且AD⊥PA,CB⊥PB
∵∠APD=∠CPB
∴tanAPD=tanCPB
∴=
∴PB=2PA
在平面APB内,以AB的中点为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(-3,0)、B(3,0),设P(x,y)(y≠0),则(x-3)2+y2=4[(x+3)2+y2](y≠0)
即(x+5)2+y2=16(y≠0)
∴P的轨迹是(B)
立体几何中的轨迹问题(教师版)
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等,则动点P所在曲线的形状为(D).
A.线段B.一段椭圆弧C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分
简析 本题主要考查点到直线距离的概念,线面垂直及抛物线的定义.因为B1C1面AB1,所以PB1就是P到直线B1C1的距离,故由抛物线的定义知:
动点的轨迹为抛物线的一段,从而选D.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为2:
1,则动点P所在曲线的形状为(B).
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为1:
2,则动点P所在曲线的形状为(C).
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1的中点,点P在其对角面BB1D1D内运动,若EP总与直线AC成等角,则点P的轨迹有可能是(A).
A.圆或圆的一部分B.抛物线或其一部分C.双曲线或其一部分D.椭圆或其一部分
简析 由条件易知:
AC是平面BB1D1D的法向量,所以EP与直线AC成等角,得到EP与平面BB1D1D所成的角都相等,故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分.
5.已知正方体的棱长为a,定点M在棱AB上(但不在端点A,B上),点P是平面ABCD内的动点,且点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为a2,则点P的轨迹所在曲线为(A).
A.抛物线 B.双曲线C.直线 D.圆
简析 在正方体中,过P作PFAD,过F作FEA1D1,垂足分别为F、E,连结PE.则PE2=a2+PF2,又PE2-PM2=a2,所以PM2=PF2,从而PM=PF,故点P到直线AD与到点M的距离相等,故点P的轨迹是以M为焦点,AD为准线的抛物线.
6.在正方体中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,总有APBD1,则动点P的轨迹为__________.
简析 在解题中,我们要找到运动变化中的不变因素,通常将动点聚焦到某一个平面.易证BD1面ACB1,所以满足BD1AP的所有点P都在一个平面ACB1上.而已知条件中的点P是在侧面BCC1B1及其边界上运动,因此,符合条件的点P在平面ACB1与平面BCC1B1交线上,故所求的轨迹为线段B1C.本题的解题基本思路是:
利用升维,化“动”为“静”,即先找出所有点的轨迹,然后缩小到符合条件的点的轨迹.
7.在正四棱锥S-ABCD中,E是BC的中点,点P在侧面SCD内及其边界上运动,总有PEAC,则动点P的轨迹为_______________.
答案 线段MN(M、N分别为SC、CD的中点)
8.若A、B为平面的两个定点,点P在外,PB,动点C(不同于A、B)在内,且PCAC,则动点C在平面内的轨迹是________.(除去两点的圆)
9.若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等,则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是:
(D)
简析 动点P在侧面ABC内,若点P到AB的距离等于到棱BC的距离,则点P在的内角平分线上.现在P到平面BCD的距离等于到棱AB的距离,而P到棱BC的距离大于P到底面BCD的距离,于是,P到棱AB的距离小于P到棱BC的距离,故动点P只能在的内角平分线与AB之间的区域内.只能选D.
10.已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点,P到面ABC的距离与到点S的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是(B).
A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线
解题的要领就是化空间问题为平面问题,把一些重要元素集中在某一个平面内,利
用相关的知识去解答,象平面几何知识、解析几何知识等.
11.已知正方体的棱长为1,在正方体的侧面上到点A距离为的点的轨迹形成一条曲线,那么这条曲线的形状是_________,它的长度为__________.
简析 以B为圆心,半径为且圆心角为的圆弧,长度为.
12.已知长方体中,,在线段BD、上各有一点P、Q,PQ上有一点M,且,则M点轨迹图形的面积是.
提示 轨迹的图形是一个平行四边形.
13.已知棱长为3的正方体中,长为2的线段MN的一个端点在上运动,另一个端点N在底面ABCD上运动,求MN中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积.
简析 由于M、N都是运动的,所以求的轨迹必须化“动”为“静”,结合动点P的几何性质,连结DP,因为MN=2,所以PD=1,因此点P的轨迹是一个以D为球心,1为半径的球面在正方体内的部分,所以点P的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的
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- 立体几何 中的 轨迹 问题 总结 讲义 练习
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