高中数学知识梳理与训练第十一章 计数原理概率随机变量及其分布 第4节 随机事件的概率文档格式.docx
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(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A+B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B
(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件,则称事件A与事件B互斥
A∩B=∅
对立事件
若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件
P(A∪B)=1
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:
0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)=1.
(3)不可能事件的概率P(F)=0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).
②若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)=1-P(B).
[微点提醒]
1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
2.概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时,要用到概率加法公式的推广,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×
”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的.( )
(2)在大量的重复实验中,概率是频率的稳定值.( )
(3)若随机事件A发生的概率为P(A),则0≤P(A)≤1.( )
(4)6张奖券中只有一张有奖,甲、乙先后各抽取一张,则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.( )
答案
(1)×
(2)√ (3)√ (4)×
2.(必修3P123A3改编)容量为20的样本数据,分组后的频数如下表:
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频数
2
3
4
5
则样本数据落在区间[10,40)的频率为( )
A.0.35B.0.45C.0.55D.0.65
解析 由表知[10,40)的频数为2+3+4=9,
所以样本数据落在区间[10,40)的频率为=0.45.
答案 B
3.(必修3P121T5改编)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”( )
A.是互斥事件,不是对立事件
B.是对立事件,不是互斥事件
C.既是互斥事件,也是对立事件
D.既不是互斥事件也不是对立事件
解析 “至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况,这两种情况再加上“全是男生”构成全集,且不能同时发生,故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件,也是对立事件.
答案 C
4.(2019·
长沙月考)将一枚硬币向上抛掷10次,其中“正面向上恰有5次”是( )
A.必然事件B.随机事件
C.不可能事件D.无法确定
解析 抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0~10,都有可能发生,正面向上5次是随机事件.
5.(2018·
全国Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )
A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7
解析 某群体中的成员分为只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用现金支付,它们彼此是互斥事件,所以不用现金支付的概率为1-(0.15+0.45)=0.4.
6.(2018·
武汉调研)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,乙获胜的概率是,则乙不输的概率是________.
解析 乙不输包含两人下成和棋和乙获胜,且它们是互斥事件,所以乙不输的概率为+=.
答案
考点一 随机事件的关系
【例1】
(1)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人,每个人分得一张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”( )
A.是对立事件B.是不可能事件
C.是互斥但不对立事件D.不是互斥事件
(2)设条件甲:
“事件A与事件B是对立事件”,结论乙:
“概率满足P(A)+P(B)=1”,则甲是乙的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析
(1)显然两个事件不可能同时发生,但两者可能同时不发生,因为红牌可以分给丙、丁两人,综上,这两个事件为互斥但不对立事件.
(2)若事件A与事件B是对立事件,则A∪B为必然事件,再由概率的加法公式得P(A)+P(B)=1;
投掷一枚硬币3次,满足P(A)+P(B)=1,但A,B不一定是对立事件,如:
事件A:
“至少出现一次正面”,事件B:
“出现3次正面”,则P(A)=,P(B)=,满足P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立事件.
答案
(1)C
(2)A
规律方法 1.准确把握互斥事件与对立事件的概念:
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件,但也可以同时不发生;
(2)对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生,即有且仅有一个发生.
2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;
两个事件,若有且仅有一个发生,则这两个事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.
【训练1】从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,其中:
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;
②至少有一个是奇数和两个都是奇数;
③至少有一个是奇数和两个都是偶数;
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中,是对立事件的是( )
A.①B.②④C.③D.①③
解析 从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况:
一奇一偶,两个奇数,两个偶数.
其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况,它与两个都是偶数构成对立事件.
又①②④中的事件可以同时发生,不是对立事件.
考点二 随机事件的频率与概率
【例2】(2017·
全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:
℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;
如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;
如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高
气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40]
天数
16
36
25
7
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:
元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
解
(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表中数据可知,最高气温低于25的频率为=0.6.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,
若最高气温低于20,则Y=200×
6+(450-200)×
2-450×
4=-100;
若最高气温位于区间[20,25),则Y=300×
6+(450-300)×
4=300;
若最高气温不低于25,则Y=450×
(6-4)=900,
所以,利润Y的所有可能值为-100,300,900.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为=0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
规律方法 1.概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.
2.随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数,这个常数就是概率.
提醒 概率的定义是求一个事件概率的基本方法.
【训练2】如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:
所用时间(分钟)
10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
选择L1的人数
6
12
18
选择L2的人数
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.
解
(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),
∴用频率估计相应的概率为p==0.44.
(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,
故由调查结果得频率为
L1的频率
0.1
0.2
0.3
L2的频率
0.4
(3)设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;
B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.由
(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,
P(A2)=0+0.1+0.4=0.5,
∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1.
同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,
P(B2)=0+0.1+0.4+0.4=0.9,
∵P(B1)<P(B2),∴乙应选择L2.
考点三 互斥事件与对立事件的概率
【例3】经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:
排队人数
1
5人及5人以上
概率
0.16
0.04
求:
(1)至多2人排队等候的概率;
(2)(一题多解)至少3人排队等候的概率.
解 记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为
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