高中数学数列综合应用阶段测试高考专项训练B4Word格式文档下载.docx
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A.17mB.16mC.15mD.14m
4.已知数列、满足,则数列的前10项的和为()
5.我国古代数学著作《九章算术》由如下问题:
“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?
”意思是:
“现有一根金杖,长5尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;
在细的一端截下1尺,重2斤;
问依次每一尺各重多少斤?
”设该金杖由粗到细是均匀变化的,其重量为,现将该金杖截成长度相等的10段,记第段的重量为,且,若,则()
A.6B.5C.4D.7
6.删去正整数数列中的所有完全平方数,得到一个新数列,这个数列的第2018项是()
7.7.某种细胞开始有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个,…,按此规律进行下去,6小时后细胞存活的个数是( )
A.33个B.65个
C.66个D.129个
8.若数列{xn}满足lgxn+1=1+lgxn(n∈N+),且x1+x2+x3+…+x100=100,则lg(x101+x102+…+x200)的值为( )
A.102B.101
C.100D.99
9.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则,例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中,冬至和夏至的晷影长是实测得到的,其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的,下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录,其中115.1寸表示115寸1分(1寸=10分).已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸,夏至晷影长为14.8寸,那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为()
A.72.4寸B.81.4寸C.82.0寸D.91.6寸
10.等比数列的首项为1,项数是偶数,所有得奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170,则这个等比数列的项数为()
A.4B.6C.8D.10
11.已知数列满足,则()
A.1024B.1023C.2048D.2047
12.设等差数列的前项和为,已知,,则下列结论正确的是()
A.B.
C.D.
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13.在数列{an}中,若a4=1,a12=5,且任意连续三项的和都是15,则a2018=______.
14.计算:
__________.
15.已知数列和,其中,,的项是互不相等的正整数,若对于任意,的第项等于的第项,则________
16.用分期付款方式购买家用电器一件,价格为1150元,购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月,全部欠款付清后,买这件家电实际付款______元.
三、解答题
17.已知数列中,().
(1)求数列的通项公式及前项和;
(2)(此问题仅理科作答)设,求证:
.
(2)(此问题仅文科作答)设,求数列的最大项和最小项.
18.对任意函数,,可按如图所示的程序框图构造一个数列发生器,记由数列发生器产生数列,.
(Ⅰ)若定义函数,且输入,请写出数列的所有项;
(Ⅱ)若定义函数,且输入,求数列的通项公式.
19.已知数列的前项和(其中),且的最大值为8.
(1)确定常数,并求;
(2)设数列的前项和为,求证:
20.已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项和;
(3)令,问是否存在正整数使得成等差数列?
若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
21.设正数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式.
(2)若数列,设为数列的前项的和,求.
(3)若对一切恒成立,求实数的最小值.
22.已知数列的前项和,函数对任意的都有,数列满足.
(1)求数列,的通项公式;
(2)若数列满足,是数列的前项和,是否存在正实数,使不等式对于一切的恒成立?
若存在请求出的取值范围;
若不存在请说明理由.
23.设数列满足,.
(2)令,求数列的前项和.
24.
(1)证明:
1,,不可能成等差数列;
(2)证明:
1,,不可能为同一等差数列中的三项.
参考答案
1.A
【解析】分析:
由2Sn=(n+1)an,n≥2时,2Sn﹣1=nan﹣1,则2an=2(Sn﹣Sn﹣1),整理得:
,则,可得:
an=n.不等式an2﹣tan≤2t2,化为:
(n﹣2t)(n+t)≤0,t>0,0<n≤2t,关于正整数n的不等式an2﹣tan≤2t2的解集中的整数解有两个,即可得出正实数t的取值范围.
详解:
∵a1=1,2Sn=(n+1)an,
∴n≥2时,2Sn﹣1=nan﹣1,
∴2an=2(Sn﹣Sn﹣1)=(n+1)an﹣nan﹣1,整理得:
,
∴
∴an=n.
不等式an2﹣tan≤2t2,化为:
(n﹣2t)(n+t)≤0,t>0,
∴0<n≤2t,
关于正整数n的不等式an2﹣tan≤2t2的解集中的整数解有两个,
可知n=1,2.
∴1≤t<,
故答案为:
A.
点睛:
本题考查数列的递推关系、不等式的性质的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.对于等比等差数列的小题,常用到的方法,其一是化为基本量即首项和公比或者公差,其二是观察各项间的脚码关系,即利用数列的基本性质.
2.D
本题中连续奇数项组成一个公差为2的等差数列,但是与项数n之间没有对应,所以通过补项的方法,构造一个数列,使得相邻两项的和为一个公差为8的等差数列,此时项数n与项之间有对应的关系。
方法一:
把连续的奇数数列加1减1变成,把相邻两项的和看成一个新的数列,为,所以变成首项的等差数列,求和为
方法二:
用特殊值检验法,
当时,数列的和为3,可排除C;
当时,数列的和为15,可排除A、B;
所以选D
本题考查了等差数列的求和,主要是注意等差数列的公差与数列的项之间的对应。
另外,数列求通项公式或求和公式的应用,特殊值检验法在选择题中有广泛的应用,要注意解题方法的选择。
3.C
将原问题转化为等差数列的问题,结合等差数列前n项和公式整理计算即可求得最终结果.
纸的厚度相同,且各层同心圆直径成等差数列,则纸的长度为:
其中,
即:
本题选择C选项.
本题主要考查等差数列前n项和公式及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4.D
【解析】试题分析:
由题可知,则数列即为数列奇数项,则数列仍为等比数列,其首项为公比为原数列公比的平方,则数列的前10项的和为
考点:
等比数列的性质
5.A
由题意知由细到粗每段的重量成等差数列,记为{an}且设公差为d,由条件和等差数列的通项公式列出方程组,求出a1和d值,由等差数列的前n项和公式求出该金杖的总重量M,代入已知的式子化简求出i的值.
由题意知由细到粗每段的重量成等差数列,
记为{an},设公差为d,
则,解得a1=,d=,
∴该金杖的总重量M=10×
=15,
∵48ai=5M,∴48[(i﹣1)×
]=25,
即39+6i=75,解得i=6,
故选:
A.
本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的实际应用,以及方程思想,考查化简、计算能力,是基础题.
6.B
由于数列共有项,去掉个平方数后,还剩余项,所以去掉平方数后第应在后的第个数,即是原来数列的第项,从而求得结果.
由题意可得,这些数可以写为:
,第个平方数与第个平方数之间有个正整数,而数列共有项,去掉个平方数后,还剩余个数,所以去掉平方数后第项应在后的第个数,即是原来数列的第项,即为,故选B.
解决该题的关键是找出第项的大概位置,所以数列共有项这个条件非常关键,只要弄明白去掉哪些项,去掉多少项,问题便迎刃而解.
7.B
【解析】设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数量为,则,即数列是首项为,公比为的等比数列,,故小时后细胞的存活数是,故选B.
8.A
【解析】由,得,
所以数列是公比为的等比数列,
又,
所以,
所以,故选A.
9.C
【解析】设晷影长为等差数列,公差为,,,则,解得,∴,∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是寸,故选C.
10.C
【解析】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为,
则,所以,
结合等比数列求和公式有:
,解得n=4,
即这个等比数列的项数为8.
11.B
【解析】an+1=an+2n;
∴an+1−an=2n;
∴(a2−a1)+(a3−a2)+…+(a10−a9)=2+22+…+29==1022;
∴a10−a1=a10−1=1022;
∴a10=1023.
本题选择B选项.
数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项,由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:
①求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式;
②将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列,或用累加法、累乘法、迭代法求通项.
12.D
【解析】令f(x)=x3+2016x,则f′(x)=3x2+2016>
0,
所以f(x)在R上单调递增,且f(x)为奇函数。
由条件得,f()=−1,f()=1,
∴,从而+=2,
又等差数列的前项和为,
所以===2016,
因为f()=−1,f()=1,f(x)在R上单调递增,
所以>
即>
D.
本题解题关键由题意合理构造函数f(x)=x3+2016x,借助此函数的单调性与奇偶性明确+=2,再利用等差数列的重要性质,问题迎刃而解.
13.9
将an+an+1+an+2=15中n换为n+1,可得数列{an}是周期为3的数列.求出a2,a1,即可得到a2018
由题意可得an+an+1+an+2=15,将n换为an+1+an+2+an+3=15,可得an+3=an,可得数列{an是周期为3的数列.故,由an+an+1+an+2=15,n取1可得,故,故答案为9.
本题考查了数列的周期性、递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
14.
原式变形后,利用裂项相消法,计算即可得到结果.
由裂项相消法原式=
此题考查了数列的求和,熟练掌握裂项相消法运算法则是解本题的关键.
15.2
【解析】由,若对于任意的第项等于的第项,
则,则
所以.
16.1255元
【解析】
【分析】
每月付50元,分20次付完,设每月付款数顺次组成数列{an},可得付款数{an}组成等差数列,公差d=﹣0.5,
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- 高中数学 数列 综合 应用 阶段 测试 高考 专项 训练 B4