线性代数第二章习题部分答案Word格式.docx
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则2β1+β2−β3=(−2,8,−2)T.
二、试确定下列向量组的线性相关性
1.α1=(2,1,0)T,α2=(1,2,1)T,α3=(1,1,1)T
解:
设k1α1+k2α2+k3α3=0,
则k1210+k2121+k3111=000
即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0k1+2k2+k3=0−3k2−k3=0k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0
k1=k2=k3=0,线性无关。
2.α1=(1,−1,2)T,α2=(0,0,0)T,α3=(1,4,3)T
线性相关
三、设有向量组α1=(1,1,0)T,α2=(1,3,−1)T,α3=(5,−3,t)T,问t取何值时该向量组线性相关。
则k1110+k213−1+k35−3t=0
即k1+k2+5k3=0k1+3k2−3k3=0−k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k2−4k3=0−k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k1+3k2−3k3=0(t−4)k3=0
所以,t=4,线性相关;
t≠4,线性无关
四、设a1,a2线性无关,a1+b,a2+b线性相关,求向量b用a1,a2线性表示的表示式。
因为a1+b,a2+b线性相关,所以存在不全为零的k1,k2,使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0,即(k1+k2)b=−k1a1−k2a2.又因为a1,a2线性无关,所以k1+k2≠0,于是,b=−k1k1+k2a1−k2k1+k2a2.
五、已知向量组α1,α2,⋯,α2n,令β1=α1+α2,β2=α2+α3,⋯,β2n=α2n+α1,求证向量组β1,β2,⋯,β2n线性相关。
因为β1−β2+β3−β4+⋯+β2n−1−β2n=0,
所以,向量组β1,β2,⋯,β2n线性相关。
2-2线性相关与线性无关
(二)
一、设a1,a2线性相关,b1,b2线性相关,问a1+b1,a2+b2是否一定线性相关?
并举例说明之。
取a1=00,a2=10,b1=00,b2=01.
a1+b1,a2+b2线性相关。
取a1=00,a2=10,b1=01,b2=00.
a1+b1,a2+b2线性无关。
二、举例说明下列各命题是错误的:
1.若向量组a1,a2,⋯,am是线性相关的,则a1可由a2,⋯,am线性表示。
取a1=10,a2=00.
2.若有不全为0的数λ1,λ2,⋯,λm,使
λ1a1+λ2a2+⋯λmam+λ1b1+λ2b2+⋯+λmbm=0
成立,则a1,a2,⋯,am是线性相关,b1,b2,⋯,bm是线性相关.
取a1=01,a2=10,b1=10,b2=01.
3.若只有当λ1,λ2,⋯,λm全为0时,等式
才能成立,则a1,a2,⋯,am是线性无关,b1,b2,⋯,bm是线性无关。
4.若a1,a2,⋯,am是线性相关,b1,b2,⋯,bm是线性相关,则有不全为0的数λ1,λ2,⋯,λm,使λ1a1+λ2a2+⋯λmam=0,λ1b1+λ2b2+⋯+λmbm=0
同时成立。
取a1=20,a2=10,b1=10,b2=10.
三、设向量组a1,a2,⋯,am线性相关,且a1≠0,证明存在某个向量ak(2≤k≤m),使ak能由a1,⋯,ak−1线性表示。
证明:
因为向量组a1,a2,⋯,am线性相关,所以存在不全为零的λ1,λ2,⋯,λm使得λ1a1+λ2a2+⋯+λmam=0。
设λ1,λ2,⋯,λm中最后一个不为零的数是λk,即λk≠0,λk+1=0⋯,λm=0,又因为a1≠0,所以,λk≠λ1。
即有λk≠0(2≤k≤m),使得λ1a1+λ2a2+⋯+λkak=0,于是,ak=−λ1λka1+−λ2λka2+⋯+−λk−1λkak−1,命题得证。
四、已知Ra1,a2,a3=2,Ra2,a3,a4=3,
(1)a1能由a2,a3线性表示。
(2)a4不能由a1,a2,a3线性表示。
(1)因为Ra2,a3,a4=3,所以a2,a3,a4线性无关,由定理1知a2,a3也线性无关;
又因为Ra1,a2,a3=2,所以,a1,a2,a3线性相关,由定理3得a1能由a2,a3线性表示。
(2)反证法。
假设a4能由a1,a2,a3线性表示。
再利用
(1)的结果,可推出a4能由a2,a3线性表示,由定理2得a2,a3,a4线性相关,与Ra2,a3,a4=3矛盾。
所以,a4不能由a1,a2,a3线性表示。
五、设b1=a1,b2=a1+a2,⋯,br=a1+a2+⋯+ar,且向量a1,a2,⋯,ar线性无关,证明向量组b1,b2,⋯,br线性无关。
设k1b1+k2b2+⋯+krbr=0,则k1a1+k2a1+a2+⋯+kr(a1+a2+⋯+ar)=0(k1+k2+⋯+kr)a1+(k2+⋯+kr)a2+⋯+krar=0
而向量a1,a2,⋯,ar线性无关,所以,k1+k2+⋯+kr=0k2+⋯+kr=0⋯kr=0⟹k1=0k2=0⋯kr=0
所以,向量组b1,b2,⋯,br线性无关。
2-3极大无关组
(一)
一、证明n阶单位矩阵的秩为n.
n阶单位矩阵的列向量组为ei=(0,⋯,0,1,0,⋯,0)T,i=1,⋯,n,设k1e1+k2e2+⋯+knen=0,则
k110⋮0+k201⋮0+⋯+kn00⋮1=00⋮0⟹k1k2⋮kn=00⋮0⟹k1=0k2=0⋯kr=0
所以,e1,e2,⋯,en线性无关,秩为n,则n阶单位矩阵的秩为n.
二、设矩阵A=a11a120a22⋯a1na2n⋮⋮⋱⋮00⋯ann(其中a11a22⋯ann≠0)则RA=n.
设矩阵A的列向量组为a1=a110⋮0,a2=a12a22⋮0,⋯,an=a1na2n⋮ann
设k1a1+k2a2+⋯+knan=0,则k1a110⋮0+k2a12a22⋮0+⋯+kna1na2n⋮ann=00⋮0⟹k1a11+k2a12+⋯+kna1nk2a22+⋯+kna2n⋮knann=00⋮0⟹k1=0k2=0⋯kn=0
所以,a1,a2,⋯,an线性无关,秩为n,则RA=n.
三、求下列向量组的秩
1.α1=(1,−1,0)T,α2=(2,1,1)T,α3=(1,3,−1)T
R=3
2.α1=(1,2,1,3)T,α2=(4,−1,−5,−6)T,
α3=(1,−3,−4,−7)T
A=(α1,α2,α3)=1412−1−31−5−43−6−7r2−2r1r3−r1r4−3r11410−9−50−9−50−18−10r3−r2r4−2r21410−9−5000000
所以,R(α1,α2,α3)=2,α1,α2为极大无关组。
四、设a1,a2,⋯,an是一组n维向量,已知n维单位坐标向量e1,e2,⋯,en能由它们线性表示,证明a1,a2,⋯,an线性无关。
因为n维单位坐标向量e1,e2,⋯,en能由a1,a2,⋯,an线性表示,所以,R(e1,e2,⋯,en)≤R(a1,a2,⋯,an),而Re1,e2,⋯,en=n,R(a1,a2,⋯,an)≤n,所以,Ra1,a2,⋯,an=n,于是,a1,a2,⋯,an线性无关。
五、设a1,a2,⋯,an是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是:
任一n维向量都可由它们线性表示。
充分性:
如果任一n维向量都可由a1,a2,⋯,an线性表示,
则n维单位坐标向量e1,e2,⋯,en能由a1,a2,⋯,an线性表示,利用上一题的结果,a1,a2,⋯,an线性无关。
必要性:
如果a1,a2,⋯,an线性无关,对于任一n维向量a.
如果a=ai(i=1,2,⋯,n),则a=0a1+⋯+0ai−1+1ai+0ai+1+⋯+0an,所以,向量a能由a1,a2,⋯,an线性表示。
如果a≠ai(i=1,2,⋯,n),则a,a1,a2,⋯,an这n+1个n维向量线性相关,而a1,a2,⋯,an线性无关,由定理3得向量a能由a1,a2,⋯,an线性表示。
(另证:
如果a1,a2,⋯,an线性无关,而ℝn的维数是n,所以a1,a2,⋯,an为ℝn的一组基,所以ℝn中的一n维向量都可由它们线性表示。
)
2-3极大无关组
(二)
一、设A,B为同阶矩阵,求证RA+B≤R(A,B)≤RA+R(B)。
设A的列向量组为a1,a2,⋯,an,极大无关组为a1,a2,⋯,as;
B的列向量组为b1,b2,⋯,bn,极大无关组为b1,b2,⋯,br.
则A+B的列向量组为a1+b1,a2+b2,⋯,an+bn能由(A,B)的列向量组a1,a2,⋯,an,b1,b2,⋯,bn线性表示,所以,RA+B≤R(A,B).
又(A,B)的列向量组a1,a2,⋯,an,b1,b2,⋯,bn能由
a1,a2,⋯,as,b1,b2,⋯,br,所以,
RA,B≤R(a1,⋯,as,b1,⋯,br)≤s+r=RA+R(B).
二、设向量组B:
b1,b2,⋯,br能由向量组A:
a1,a2,⋯,as线性表示
(b1,b2,⋯,br)=a1,a2,⋯,asK
其中K为s×
r矩阵,且A线性无关。
证明B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩为RK=r.
必要性.已知B:
b1,b2,⋯,br线性无关.则RB=r,
设矩阵B=(b1,b2,⋯,br),矩阵A=a1,a2,⋯,as,则B=AK,所以,r=RB≤R(Ks×
r)≤r,得RK=r.
充分性.已知RK=r,则K的列向量组k1,k2,⋯,kr线性无关。
设λ1b1+λ2b2+⋯+λrbr=0⟹(b1,b2,⋯,br)λ1λ2⋮λr=0⟹a1,a2,⋯,asKλ1λ2⋮λr=0A:
a1,a2,⋯,as线性无关Kλ1λ2⋮λr=0
⟹k1,k2,⋯,krλ1λ2⋮λr=0k1,k2,⋯,kr线性无关λ1=λ2=⋯=λr=0
⟹B:
b1,b2,⋯,br线性无关。
三、设β1=a2+a3+⋯+anβ2=a1+a3+⋯+an⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯βn=a1+a2+⋯+an−1
向量组a1,a2,⋯,an与向量组β1,β2,⋯,βn等价。
因为β1=0a1+a2+a3+⋯
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