届人教A版文科数学圆锥曲线中的存在探索问题单元测试Word下载.docx
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将P代入椭圆E的方程,
得+=1,整理,得4m2=42+3.
设T(t,0),Q(-4,m-4),
∴=(-4-t,m-4),=.
即·
=+
=.
∵42+3=4m2,
∴·
==+.
要使·
为定值,
只需2==为定值,则1+t=0,∴t=-1,
∴在x轴上存在一点T(-1,0),使得·
为定值.
2.【山西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中2017届高三第一次联考】已知椭圆C:
的左焦点为F,为椭圆上一点,AF交y轴于点M,且M为AF的中点.
(I)求椭圆C的方程;
(II)直线与椭圆C有且只有一个公共点A,平行于OA的直线交于P,交椭圆C于不同的两点D,E,问是否存在常数,使得,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
【答案】
(I)(II)
(Ⅰ)设椭圆的右焦点是,在中,…………2分
所以椭圆的方程为…………4分
(Ⅱ)设直线DE的方程为,解方程组
消去得到若
则,其中…………6分
又直线的方程为,直线DE的方程为,…………8分
所以P点坐标,
所以存在常数使得…………12分
3.【2017长郡中学高三入学考试】已知椭圆的两个焦点分别为,,以椭圆短轴为直径的圆经过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线与椭圆相交于两点,设直线的斜率分别为,问是否为定值?
并证明你的结论.
(1);
(2)为定值2.
(1)由已知得:
由已知易得,解得,则椭圆的方程为.
(2)①当直线的斜率不存在时,由,解得,设,.
②当直线的斜率存在时,设直线的方程为,将代入整理化简,得
依题意,直线与椭圆必相交于两点,设,则,,
又,,
所以
综上得:
为定值2.
4.【广东省惠州市2017届高三第一次调研考试】已知点,,直线与直线相交于点,直线与直线的斜率分别记为与,且.
(Ⅰ)求点的轨迹的方程;
(Ⅱ)过定点作直线与曲线交于两点,的面积是否存在最大值?
若存在,求出面积的最大值;
(Ⅰ);
(Ⅱ).
(Ⅰ)设,则,
所以所以
(Ⅱ)由已知当直线的斜率存在,设直线的方程是,
联立,消去得,
因为,所以,
设,
........10分
当且仅当时取等号,
面积的最大值为.
5.【2016届云南师范大学附属中学高三月考】如图,过椭圆内一点的动直线与椭圆相交于M,N两点,当平行于x轴和垂直于x轴时,被椭圆所截得的线段长均为.
(2)在平面直角坐标系中,是否存在与点A不同的定点B,使得对任意过点的动直线都满足?
若存在,求出定点B的坐标,若不存在,请说明理由.
(1);
(2)存在点B的坐标.
(Ⅰ)由已知得,点在椭圆上,
所以,解得,
所以椭圆的方程为.
下面证明:
对任意直线l,都有,即.
当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立;
当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为.
设M,N的坐标分别为,
由得,
其判别式,
所以,,
因此,.
易知点N关于y轴对称的点的坐标为
又,
所以,即三点共线,
所以.
故存在与点A不同的定点,使得.
6.【2016届江苏省如东高中高三上学期期中】已知椭圆,F为椭圆的右焦点,点A,B分别为椭圆的上下顶点,过点B作AF的垂线,垂足为M.
(1)若,的面积为1,求椭圆方程;
(2)是否存在椭圆,使得点B关于直线AF对称的点D仍在椭圆上,若存在,求椭圆的离心率的值;
若不存在,说明理由.
(1)
(2)不存在
(1)直线,直线.
联立可得.
又因为,所以.
所以椭圆方程为.
因为,所以.
代入椭圆方程得.
化简得.
因为,所以方程无解.
所以不存在这样的椭圆,使得点关于直线对称的点仍在椭圆上.
7.【2016届广东省惠州市高三第一次调研考试】在平面直角坐标系中,已知圆心在轴上,半径为4的圆位于轴右侧,且与轴相切.
(I)求圆的方程;
(II)若椭圆的离心率为,且左右焦点为.试探究在圆上是否存在点,使得为直角三角形?
若存在,请指出共有几个这样的点?
并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).
(I);
(Ⅱ)存在,有四个这样的点.
(i)过作轴的垂线,交圆,则,符合题意;
9分
(ii)过可作圆的两条切线,分别与圆相切于点,
连接,则,符合题意.11分
综上,圆上存在4个点,使得为直角三角形.12分
8.如图所示,椭圆:
的离心率是,过点
的动直线与椭圆相交于两点,当直线平行于轴时,直线被椭圆截得的
线段长为.
(2)在平面直角坐标系中,是否存在与点不同的定点,使得恒成立?
(1)由已知点在椭圆上.
所以,解得,.所以椭圆方程为.
(2)当直线与轴平行时,设直线与椭圆相交于两点.
如果存在定点满足条件,则,即.
所以点在轴上,可设点的坐标为.
当直线与轴垂直时,设直线与椭圆相交于两点.
则,,由,
有,解得或.
所以,若存在不同于点的定点满足条件,则点的坐标只可能为.
对任意的直线,均有.
当直线的斜率不存在时,由上可知,结论成立.
当直线的斜率存在时,可设直线的方程为,的坐标分别为,.
联立,得.
其判别式,,
所以,.
因此.
易知,点关于轴对称的点的坐标为.
又,,,
所以,即三点共线.
所以.
故存在与点不同的定点,使得恒成立.
9.在平面直角坐标系中,已知椭圆:
()的离心率且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)在椭圆上,是否存在点,使得直线:
与圆:
相交于不同的两点、,且的面积最大?
若存在,求出点的坐标及对应的的面积;
若不存在,请说明理由
(Ⅰ)因为,所以,于是.1分
设椭圆上任一点,椭圆方程为,,=
①当,即时,(此时舍去;
3分
②当即时,5分
综上椭圆C的方程为.6分
(Ⅱ)圆心到直线的距离为,弦长,所以的面积为8分
点,10分
当时,由得
综上所述,椭圆上存在四个点、、、,使得直线与圆相交于不同的两点、,且的面积最大,且最大值为.12分
10.如图,已知椭圆:
其左右焦点为及,过点的直线交椭圆于两点,线段的中点为,的中垂线与轴和轴分别交于两点,且、、构成等差数列.
(2)记△的面积为,△(为原点)的面积为.试问:
是否存在直线,使得?
说明理由.
(1)因为、、构成等差数列,
所以,所以.(2分)
又因为,所以,(3分)
所以椭圆的方程为.(4分)
故点的横坐标为.所以.(8分)
因为,所以,解得,
即(10分)
和相似,若,则(11分)
所以,(12分)
整理得.(13分)
因为此方程无解,所以不存在直线,使得.(14分)
11.【2015吉林省吉林市高三第二次模拟】如图,已知椭圆C:
的左、右焦点为,其上顶点为.已知是边长为的正三角形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点任作一动直线交椭圆C于两点,记若在线段上取一点使得,试判断当直线运动时,点是否在某一定直线上运动?
若在请求出该定直线,若不在请说明理由.
(1)是边长为的正三角形,则,1分
故椭圆C的方程为.3分
(2)直线MN的斜率必存在,设其直线方程为,并设.
联立方程,消去得,则
4分
由得,故.5分
设点R的坐标为,则由得,解得
.8分
从而,故点R在定直线上.10分
12.定义:
我们把椭圆的焦距与长轴的长度之比即,叫做椭圆的离心率.若两个椭圆的离心率相同,称这两个椭圆相似.
(1)判断椭圆与椭圆是否相似?
并说明理由;
(2)若椭圆与椭圆相似,求的值;
(3)设动直线与
(2)中的椭圆交于两点,试探究:
在椭圆上是否存在异于的定点,使得直线的斜率之积为定值?
若存在,求出定点的坐标;
若不存在,说明理由.
(1),相似;
(2)由,得;
8分
(3)设、、、(为常数),将代入,整理得10分
则有(*)
由得,即
亦即(**)
将(*)代入(**)整理得:
12分
因为对动直线,总要存在定点,所以上式成立与无关,因此必须有14分
得,或,.16分
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