小学奥数平面几何五种面积模型等积鸟头蝶形相似共边汇总.docx
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小学奥数平面几何五种面积模型等积鸟头蝶形相似共边汇总
小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
目标:
熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型和沙漏模型),共边(含燕尾模型和风筝模型),掌握五大面积模型的各种变形
知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;
两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;
如右图
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图;
反之,如果,则可知直线平行于.
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);
⑤三角形面积等于及它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形.
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
如图在中,分别是上的点如图(或在的延长线上,在上),
则
图图
三、蝶形定理
任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”):
①或者②
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系及四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到及面积对应的对角线的比例关系.
梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”):
①
②;
③的对应份数为.
四、相似模型
(一)金字塔模型
(二)沙漏模型
①;
②.
所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),及相似三角形相关的常用的性质及定理如下:
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方;
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理:
三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.
相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边及面积关系相互转化的工具.
在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.
五、共边定理(燕尾模型和风筝模型)
在三角形中,,,相交于同一点,那么.
上述定理给出了一个新的转化面积比及线段比的手段,因为和的形状很象燕子的尾巴,所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
典型例题
【例1】如图,正方形ABCD的边长为6,1.5,2.长方形EFGH的面积为.
【解析】连接DE,DF,则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍.
三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积,
所以长方形EFGH面积为33.
【巩固】如图所示,正方形的边长为厘米,长方形的长为厘米,那么长方形的宽为几厘米?
【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形).三角形面积等于及它等底等高的平行四边形面积的一半.
证明:
连接.(我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起).
∵在正方形中,边上的高,
∴(三角形面积等于及它等底等高的平行四边形面积的一半)
同理,.
∴正方形及长方形面积相等.长方形的宽(厘米).
【例2】长方形的面积为36,、、为各边中点,为边上任意一点,问阴影部分面积是多少?
【解析】解法一:
寻找可利用的条件,连接、,如下图:
可得:
、、,而
即;
而,.
所以阴影部分的面积是:
解法二:
特殊点法.找的特殊点,把点及点重合,
那么图形就可变成右图:
这样阴影部分的面积就是的面积,根据鸟头定理,则有:
.
【巩固】在边长为6厘米的正方形内任取一点,将正方形的一组对边二等分,另一组对边三等分,分别及点连接,求阴影部分面积.
【解析】(法1)特殊点法.由于是正方形内部任意一点,可采用特殊点法,假设点及点重合,则阴影部分变为如上中图所示,图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和,所以阴影部分的面积为平方厘米.
(法2)连接、.
由于及的面积之和等于正方形面积的一半,所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的,同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的,所以阴影部分的面积为平方厘米.
【例3】如图所示,长方形内的阴影部分的面积之和为70,,,四边形的面积为.
【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的面积之和,以及三角形和的面积之和,进而求出四边形的面积.
由于长方形的面积为,所以三角形的面积为,所以三角形和的面积之和为;
又三角形、和四边形的面积之和为,所以四边形的面积为.
另解:
从整体上来看,四边形的面积三角形面积三角形面积白色部分的面积,而三角形面积三角形面积为长方形面积的一半,即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积,即,所以四边形的面积为.
【巩固】如图,长方形的面积是36,是的三等分点,,则阴影部分的面积为.
【解析】如图,连接.
根据蝶形定理,,所以;
,所以.
又,,所以阴影部分面积为:
.
【例4】已知为等边三角形,面积为400,、、分别为三边的中点,已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.(丙是三角形)
【解析】因为、、分别为三边的中点,所以、、是三角形的中位线,也就及对应的边平行,根据面积比例模型,三角形和三角形的面积都等于三角形的一半,即为200.
根据图形的容斥关系,有,
即,所以.
又,所以.
【例5】如图,已知,,,,线段将图形分成两部分,左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形的面积是.
【解析】连接,.
根据题意可知,;;
所以,,,,,
于是:
;;
可得.故三角形的面积是40.
【例6】如图在中,分别是上的点,且,,平方厘米,求的面积.
【解析】连接,,
,所以,设份,则份,平方厘米,所以份是平方厘米,份就是平方厘米,的面积是平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
【巩固】如图,三角形中,是的5倍,是的3倍,如果三角形的面积等于1,那么三角形的面积是多少?
【解析】连接.
∵
∴
又∵
∴,∴.
【巩固】如图,三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,,,,乙部分面积是甲部分面积的几倍?
【解析】连接.
∵,
∴,
又∵,
∴,∴,.
【例7】如图在中,在的延长线上,在上,且,
,平方厘米,求的面积.
【解析】连接,,
所以,设份,则份,平方厘米,所以份是平方厘米,份就是平方厘米,的面积是平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
【例8】如图,平行四边形,,,,,平行四边形的面积是,求平行四边形及四边形的面积比.
【解析】连接、.根据共角定理
∵在和中,及互补,
∴.
又,所以.
同理可得,,.
所以.
所以.
【例9】如图所示的四边形的面积等于多少?
【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形,难以运用公式直接求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换:
把三角形绕顶点逆时针旋转,使长为的两条边重合,此时三角形将旋转到三角形的位置.这样,通过旋转后所得到的新图形是一个边长为的正方形,且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.
因此,原来四边形的面积为.(也可以用勾股定理)
【例10】如图所示,中,,,,以为一边向外作正方形,中心为,求的面积.
【解析】如图,将沿着点顺时针旋转,到达的位置.
由于,,所以.而,
所以,那么、、三点在一条直线上.
由于,,所以是等腰直角三角形,且斜边为,所以它的面积为.
根据面积比例模型,的面积为.
【例11】如图,以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形,,、交于.已知、的长分别为、,求三角形的面积.
【解析】如图,连接,以点为中心,将顺时针旋转到的位置.
那么,而也是,所以四边形是直角梯形,且,
所以梯形的面积为:
().
又因为是直角三角形,根据勾股定理,,所以().
那么(),
所以().
【例12】如下图,六边形中,,,,且有平行于,平行于,平行于,对角线垂直于,已知厘米,厘米,请问六边形的面积是多少平方厘米?
【解析】如图,我们将平移使得及重合,将平移使得及重合,这样、都重合到图中的了.这样就组成了一个长方形,它的面积及原六边形的面积相等,显然长方形的面积为平方厘米,所以六边形的面积为平方厘米.
【例13】如图,三角形的面积是,是的中点,点在上,且,及交于点.则四边形的面积等于.
【解析】方法一:
连接,根据燕尾定理,,,
设份,则份,份,份,如图所标
所以
方法二:
连接,由题目条件可得到,
,所以,
,
而.所以则四边形的面积等于.
【巩固】如图,长方形的面积是平方厘米,,是的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米?
【解析】设份,则根据燕尾定理其他面积如图所示平方厘米.
【例14】四边形的对角线及交于点(如图所示).如果三角形的面积等于三角形的面积的,且,,那么的长度是的长度的_________倍.
【解析】在本题中,四边形为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:
⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件,这可以向模型一蝶形定理靠拢,于是得出一种解法.又观察题目中给出的已知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作垂直于,垂直于,面积比转化为高之比.再应用结论:
三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果.请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝶形定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题.
解法一:
∵,∴,∴.
解法二:
作于,于.
∵,∴,∴,
∴,∴,∴.
【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知,
求:
⑴三角形的面积;⑵?
【解析】⑴根据蝶形定理,,那么;
⑵根据蝶形定理,.
【例15】如图,平行四边形的对角线交于点,、、、的面积依次是2、4、4和6.求:
⑴求的面积;⑵求的面积.
【解析】⑴根据题意可知,的面积为,那么和的面积都是,所以的面积为;
⑵由于的面积为8,的面积为6,所以的面积为,
根据蝶形定理,,所以,
那么.
【例16】如图,长方形中,,,三角形的面积为平方厘米,求长方形的面积.
【解析】连接,.
因为,,所以.
因为,,所以平方厘米,所以平方厘米.因为,所以长方形的面积是平方厘米.
【例17】如图,正方形面积为平方厘米,是边上的中点.求图中阴影部分的面积.
【解析】因为是边上的中点,所以,根据梯形蝶形定理可以知道
,设份,则份,所以正方形的面积为份,份,所以,所以平方厘米.
【巩固】在下图的正方形中,是边的中点,及相交于点,三角形的面积为1平方厘米,那么正方形面积是平方厘米.
【解析】连接,根据题意可知,根据蝶形定理得(平方厘米),(平方厘米),那么(平方厘米).
【例18】已知是平行四边形,,三角形的面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是平方厘米.
【解析】连接.
由于是平行四边形,,所以,
根据梯形蝶形定理,,所以(平方厘米),
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