高中数学常见题型解法归纳 数列最值的求法Word文件下载.docx
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方法二
数形结合法
比较容易求出数列的通项
先求数列的通项,再对通项的图像进行研究.
【例2】在等比数列中,,公比,且,与的等比中项为2.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为Sn,当最大时,求的值.
【点评】
(1)等差数列的通项可以看作是一个关于的一个一次函数,画出函数的图像,比较直观地看出数列的哪些项是正数,哪些项是负数,从而得到前多少项的和最大或最小.
(2)注意数列中,由
于,所以前8项的和和前9项的和相等,且都最大,所以在考虑问题时,注意那些“零”项,以免得出错误的结论.
【例3】已知数列中,则在数列的前项中最小项和最大项分别是()
A.B.C.D.
【点评】该题中的函数是双曲线,画出函数的图像,可以看出在靠近渐近线的地方函数取到最小值或最大值.
【反馈检测2】已知等差数列{},,=.若,求数列{}的前项和的最小值.
方法三
单调性法
数列的单调性比较容易确定
先求数列的通项,再对通项的单调性进行研究.
【例4】已知数列的通项公式,,求的最大值.
(1)数列按照单调性分可以分为单调增函数、单调减函数、非单调函数.
(2)判断数列的单调性一般有两种方法,方法一是作差判断,如果
方法二是作商判断,如果
【例5】设单调递增函数的定义域为,且对任意的正实数有:
且.
⑴一个各项均为正数的数列满足:
其中为数列的前项和,求数列的通项公式;
⑵在⑴的条件下,是否存在正数M使下列不等式:
对一切成立?
若存在,求出的取值范围;
若不存在,请说明理由.
⑵假设存在满足条件,
即对一切恒成立.
令,
,
故,
,单调递增,,.
.
(1)本题就是利用作商法判断数列的单调性,再求数列的最值;
(2)是选择作差法判断函数的单调性,还是选择作商法判断数列的单调性,主要看数列的形式,如果数列是商的形式,一般利用作商法判断数列的单调性,如果数列是和的形式,一般选择作差法判断数列的单调性.
【反馈检测3】已知数列中,且点在直线上.
(2)若函数求函数的最小值;
(3)设表示数列的前项和,
试证明:
.
方法四
基本不等式法
有一正二定三相等的数学情景
先求函数的表达式,再利用基本不等式解答.
【例6】广州市某通讯设备厂为适应市场需求,提高效益,特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号,并马上投入生产,第一年需要的各种费用是12万元,从第二年开始,所需费用会比上一年增加4万元,而每年因引进该设备可获得的年利润为50万元.
(1)引进该设备多少年后,开始盈利?
(2)引进该设备若干年后,有两种处理方案:
第一种:
年平均盈利达到最大值时,以26万元的价格卖出;
第二种:
盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算?
并说明理由.
【点评】基本不等式同样可以求数列的最值.如果n取等时的值不是正整数,可以求它附近的点的函数值,比较就可以了.
【反馈检测4】某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召,今年年初组织一些同学自筹资金万元购进一台设备,并立即投入生产自行设计的产品,计划第一年维修、保养费用万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加万元,该设备使用后,每年的总收入为万元,设从今年起使用年后该设备的盈利额为万元.
(Ⅰ)写出的表达式;
(Ⅱ)求从第几年开始,该设备开始盈利;
(Ⅲ)使用若干年后,对该设备的处理方案有两种:
方案一:
年平均盈利额达到最大值时,以万元价格处理该设备;
方案二:
当盈利额达到最大值时,以16万元价格处理该设备.问用哪种方案处理较为合算?
请说明理由.
方法五
导数法
函数比较复杂,单调性一般方法不行.
先求函数,再求导,再研究函数的单调性.
【例7】在数列中,(),其中是常数,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求数列的最小项.
以上个式子相加得,即.
又,所以,即.
当时,上式也成立.
所以数列的通项公式为.
(Ⅱ)为考查数列的单调性,注意到,可设函数,则,即.
可知时,;
时,;
时,.
所以函数在[1,]上是减函数;
在上是增函数.
因为,所以.
(3)当,即,即时,
.所以数列的最小项为
.
(4)当且时,且,则,
.所以数列的最小项为.
(5)当时,且,则,
所以数列的最小项为.
综上所述:
当时,数列的最小项为=10;
当时,数列的最小项为;
当时,数列的最小项为=11;
当时,数列的最小项为.
(1)利用导数求数列的最值,不能直接求,必须先构造数列对应的函数,因为数列是离散型函数,不可导.
(2)注意数列对应的函数的单调性和数列本身的单调性是有区别的,有人认为“数列对应的函数在上单调递增,在上单调递减,则数列在最靠近的地方取得最大值”.如下图所示,数列对应的连续函数在上单调递增,在上单调递减,但是数列并不是在最靠近处取得最大值,而是在处取得最大值(其中.所以可知当数列对应的函数在上单调递增,在上单调递减,则数列不一定在最靠近的地方取得最大值,必须把附近的整数值代进去比较,才可以判断谁是最大值.所以一般不利用导数求数列的最值.
a
b
c
【反馈检测5】求数列的最大项与最小项.
方法六
夹逼法
二项展开式中研究最值问题.
利用数列离散的特点,考察或,然后判断数列的最值情况.
【例8】已知二项式.
(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数;
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.
【点评】利用数列离散的特点,考察或,然后判断数列的最值情况.
(1)、若数列中的最大项为,则;
(2)、若数列中的最小项为,则.注意:
这只是为数列最值的必要不充分条件,不是充要条件,若k不止一解时,需要代入检验.
【反馈检测6】已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大992,求的展开式中:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项.
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第40讲:
数列最值的求法参考答案
【反馈检测1答案】
(1)(-,-3);
(2)当时,最大.
解法二:
由题意可得:
=+=+=
显然,是关于自变量的二次函数,
由
(1)知:
二次函数的图像抛物线的对称轴为,
,
所以6<
<
又因为,
故当时,最大,即最大.
【反馈检测2答案】
因此等差数列{}的公差大于0.
==,解得=2.
所以,则.
即数列{}也为等差数列且公差为2.
由,解得,
因为,所以,
故{}的前15项为负值,
因此最小,
可知=-29,=2,
所以数列{}的前项和的最小值为
==-225.
【反馈检测3答案】
(1);
(2)的最小值是;
(3)见解析.
【反馈检测3详细解析】
(1)由点P在直线上,即,
且,数列{}是以1为首项,1为公差的等差数列,
(2)
所以是单调递增,故的最小值是
.
【反馈检测4答案】
(Ⅰ)();
(Ⅱ)从第三年开始盈
利;
(Ⅲ)采用方案一合算.
【反馈检测4详细解析】
(Ⅰ).
(Ⅱ)由得:
即,解得,由知,,即从第三年开始盈利
(Ⅲ)方案①:
年平均盈利为,则,当且仅当,即时,年平均利润最大,共盈利24×
7+52=220万元.
方案②:
,当时,取得最大值204,即经过10年盈利总额最大,共计盈利204+16=220万元
两种方案获利相等,但由于方案二时间长,所以采用方案一合算.
【反馈检测5答案】
【反馈检测6答案】
(2)。
【反馈检测6详细解析】由题意知,解得.
(1)的展开式中第6项的二项式系数最大,即
(2)设第项的系数的绝对值最大,因为
则,得即解得
所以,故系数的绝对值最大的项是第4项即
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