第五章匀速圆周运动文档格式.docx
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理解向心力,能够计算向心力。
理解向心加速度,能用相关公式计算向心加速度,能分析质点在竖直平面内做圆周运动时,恰能经过最高点的受力情况。
通过探究向心力与哪些因素有关的实验过程感受科学探究的基本方法,并培养细致严谨的科学作风。
二、要点辨析
1.向心力是变力
向心力是一个矢量,既有大小,也有方向。
物体做圆周运动,必须要有向心力不断改变物体的速度方向,而向心力本身也总是指向圆心不断改变方向,因此向心力是变力,而且无论物体做圆周运动的速度大小是否改变,向心力都是变力,只不过当物体做匀速圆周运动时,向心力的大小保持不变。
2.向心力有来源
首先要明白,向心力是以作用效果来命名的,它不是和重力、弹力、摩擦力并列的某种特殊性质的力。
因此,任何实际存在的力都可以作为向心力,也就是说重力、弹力、摩擦力都可以作为向心力。
提供向心力的物体可以在圆心,例如链球的圆周运动靠位于圆心的运动员以手的控制来实现;
也可以不在圆心,例如圆轨道对小车提供向心力,向心力的来源就不在圆心上。
还有一个问题,向心力是合力还是分力,这要看具体情况。
向心力可以是合力也可以是某个力的分力,在基础型教材中我们只讨论一个为提供向心力的情况,其实多个力提供向心力的例子也很多,例如物体在竖直平面内做网周运动,就涉及一个以上的力提供向心力。
当物体做匀速圆周运动时,向心力就是合力;
当物体做一般圆周运动时,如果速度大小也发生变化,向心力仅仅是合力的一个分力,另一个分力沿着圆周切线方向,使速度的大小发生变化。
3.向心力不做功
因为向心力指向圆心,与做圆周运动的物体的速度方向总是垂直,它只改变速度的方向,不改变速度的大小,因此,向心力总是不做功。
当然,如果做圆周运动的物体的速度大小发生变化,这是沿着圆周切线方向的力作用的结果,这个切向力显然是做功的,不过它不是向心力。
三、例题分析
【示例1】如图5-1所示,一个大轮A通过皮带带动小轮B一起转动,小轮B与另一大轮C为同轴轮轴,假设皮带和A轮、B轮之间没有滑动,RA=RC=3RB=3R,a、b、c分别为A、B、C三个轮边缘上的点,C轮上的d点离转轴Oʹ的距离为Rd=2R,A轮上的e点离转轴O的距离为Re=1.5R。
求a、b、c、d、e五点的:
(1)线速度之比;
(2)角速度之比;
(3)向心加速度之比。
【分析】在传动装置中,与皮带接触的各点具有相同的线速度,可知va=vb,而同轴轮上的各点具有相同的角速度可知ωa=ωc,ωb=ωc=ωd,利用这些特点,即可求解。
【解答】
(1)由va∶ve=ωA·
3R∶ωA·
1.5R=2∶1;
由vb∶vc∶vd=ωBR∶ωB·
3R∶ωB·
2R=1∶3∶2,因为va=vb,可知va∶vb=1∶1;
最后可得va∶vb∶vc∶vd∶ve=2∶2∶6∶4∶1。
(2)由va=vb,得ωa·
3R=ωb·
R,ωa∶ωb=1∶3,因为ωa=ωe以及ωb=ωc=ωd,
可得
ωa∶ωb∶ωc∶ωd∶ωe=1∶3∶3∶3∶1。
(3)aa∶ab∶ac∶ad∶ae=ωA2·
3R∶ωB2·
R∶ωB2·
2R∶ωA2·
1.5R=2∶6∶18∶12∶1。
【示例2】光滑水平板中央有一个无摩擦小孔,用一轻细绳一端拴一小球,另一端穿过小孔被力F拉着,使小球在板上做匀速圆周运动,轨道半径为R,如图5-2所示。
逐渐加大拉力,使球运动的半径逐渐减小,当拉力逐渐增大到8F,球运动的轨道半径逐渐减少到R/2,此过程中对小球运动的正确描述是()
(A)线速度大小不变,角速度增大
(B)线速度、角速度都不变
(C)线速度、角速度都增大
(D)线速度增大,角速度大小不变
【分析】本题中绳的拉力就是小球的向心力,向心力增大,小球质量不变,所以向心加速度也增大,由向心加速度公式a=ω2r=可知,当a增大,r减小时ω必然增大,而且a增大到8倍,r减小到1/2,v也应该增大。
【解答】正确答案应该选(C)。
【讨论】我们知道向心力是不能改变速度大小的,为什么本题中小球速度会增大呢?
原来在小球运动半径不断减小的过程中,小球的运动轨迹不是一个圆,而是沿所谓“螺线”运动,绳的拉力在“螺线”的切线方向有一个分力,使小球速度不断增加。
四、基本训练
1.物体做匀速圆周运动时,以下说法中正确的是()
(A)必须受到恒力的作用(B)物体所受合力必须等于零
(C)物体所受合力大小可能变化(D)物体所受合力大小不变,方向不断改变
2.一个做匀速圆周运动的质点,如果它的轨道半径不变,周期增大,则它的()
(A)速度增大,加速度增大(B)速度增大,加速度减小
(C)速度减小,加速度增大(D)速度减小,加速度减小
3.质量为6×
102kg的汽车,以10m/s的速度驶过半径为80m的圆环形车道,求汽车的向心加速度和所需的向心力。
4.甲、乙两质点都做匀速圆周运动,甲的质量是乙的质量的,甲的圆周半径是乙的,当甲转动60圈时,乙转动45圈,则甲、乙运动周期之比为________,甲、乙两质点的向心加速度之比为______,向心力之比为_________。
5.从式a=ω2r看好像a跟r成正比,从式v=看好像a跟r成反比。
如果有人问你:
“向心加速度的大小跟半径成正比还是成反比”,应该怎样回答?
6.一个被细绳拉住的小球m,在光滑水平面上做匀速圆周运动,圆心为O。
在运动过程中,细绳被固定在光滑平面上的一枚铁钉P挡住,如图所示。
这时小球的线速度________,角速度______,加速度________,细绳的拉力_____(填变大、变小、不变)。
7.在某传动装置中有A、B两轮,它们以皮带相连,如图所示。
若A、B两轮的半径之比为3∶1,则A、B两轮边缘质点的向心加速度的比多大?
8.线的一端系一个重物,手执线的另一端使重物在光滑水平桌面上做匀速圆周运动,当转速相同时,线长易断,还是线短易断?
为什么?
如果重物运动时系线被桌上的一个钉子挡住,随后重物以不变的速率在系线的牵引下绕钉子做圆周运动,系线碰钉子时钉子离重物越远线易断还是越近线易断?
9.如图所示,有一个质量为m的木块,从内壁粗糙的半球形碗边下滑,在下滑过程中,如果由于摩擦作用,木块的速率恰能保持不变,下列说法中正确的是()
(A)因木块的速率不变,说明它的加速度为零,合外力也为零
(B)木块下滑的过程中,所受到的合外力越来越大
(C)木块下滑的过程中,摩擦力的数值不变
(D)木块下滑的过程中,加速度数值恒定,方向不断改变,始终沿着半径指向圆心
10.质量为m的小球用长为l的线悬挂在O点,在O点正下方处有一光滑的钉子d,把小球拉到与d在同一水平面的位置,摆线被钉子拦住,如图所示,再将小球从静止释放。
当球第一次通过最低点P时()
(A)小球速率突然减小
(B)小球角速度突然减小
(C)小球的向心加速度突然减小
(D)摆线上的张力突然减小
11.如图所示,两个半径不同而内壁光滑的半圆轨道固定在地面,一个小球先后从与球心在同一高度的A、B两点由静止开始自由下滑,通过两轨道最低点时()
(A)小球对两轨道的压力相同
(B)小球对两轨道的压力不同
(C)小球的向心加速度不相等
(D)小球的向心加速度相等
12.一小球做半径为r的匀速圆周运动,线速度大小为v,若该小球速度矢量变化的大小也是v,所需的最短时间是____。
13.如图所示,在光滑的水平面上钉两个钉子A和B,相距20cm,用一根1m长的细绳,一端系一质量为0.4kg的小球,另一端固定在钉子A上,开始时小球与A、B两钉在同一直线上,如图所示,然后使小球以2m/s的速率在水平面上做匀速圆周运动,如果绳所能承受的拉力为4N,问从小球开始运动到绳被拉断经历了多长时间?
14.一根长为L的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴O在竖直平面内转动,杆最初处于水平位置,杆上离轴O距离为a处放有一可视为质点的小物体,杆与其上小物体最初均处于静止状态,如图所示,若此杆突然以匀角速度ω顺时针绕O轴转动,问当ω取什么值时,小物体与杆可能相碰?
15.除了根据牛顿第二定律,由向心力公式推出向心加速度公式外,我们还可以直接用运动学知识推出向心加速度公式,请阅读以下推导过程,并说出其中体现了什么重要的思想。
如图(a)所示,质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动,在某时刻处于A点,速度是vA,经过很短的时间Δt后,运动到B点,速度是vB。
在图(b)中,按照矢量相加的运算法则,质点从A点运动到B点时速度的变化量为Δv,A、B两点的速度和速度的变化量构成一个矢量三角形,质点在Δt时间内的平均加速度a=,平均加速度的方向就是矢量Δv的方向。
当Δt趋近于零时,B点无限靠近A点,平均加速度的极限就是质点在A点的瞬时加速度。
在图(b)中,vA和vB的大小相等,当Δt趋近于零时,vA和vB的夹角也趋近于零,这时Δv的方向就垂直于vA,即沿着半径指向圆心,因此,质点做匀速圆周运动时,它在任一点的瞬时加速度都是沿着半径指向圆心的,我们就把匀速圆周运动的加速度叫做向心加速度,向心加速度反映了速度方向的变化快慢。
那么向心加速度的大小是多少呢?
推导过程如下,由加速度的定义可知,a=,当Δt趋近于零时,图(b)中的Δθ角也趋近于零,此时Δθ角所对的弧长和弦长Δv的差异可以忽略,即Δv=vΔθ。
因此,a===vω=。
运用线速度与角速度的关系,还可得出a=ω2r,这就是我们前面用实验和牛顿定律得出的向心加速度公式。
B圆周运动的应用
理解圆周运动的应用,如月亮围绕地球运转而不掉下来,运用圆周运动测定分子速度,以及相关计算,并能运用圆周运动的原理解释过山车、车辆转弯、车辆过桥等有关现象。
本节的学习要结合生活、生产和科学研究中的实例,充分运用圆周运动的力学原理。
通过牛顿对月球运动的分析,认识科学类比的方法,通过圆周运动知识的广泛运用体验科学知识对人类的巨大贡献,
1.做圆周运动的质点,加速度方向与速度方向的关系
做圆周运动的质点,加速度方向与速度方向不在一条直线上,如果质点做匀速圆周运动,速度沿圆周切线方向,加速度沿半径方向,加速度方向与速度方向相互垂直。
如果质点做速度大小变化的圆周运动,速度仍沿圆周切线方向,加速度既不沿半径方向,也不沿切线方向,而与半径成某个角度。
2.月球不掉到地球上的原因
月球以一定速度绕地球运动,地球对月球的引力恰好就是月亮绕地球运动所需的向心力,其效果是不断改变月球速度的方向,使其绕地球做圆周运动,因此月球不会落到地球上来。
如果地球对月球的引力稍大一点,或者月球的速度稍小一些,月球也会逐渐落向地球。
3.对课本第56页示例1的分析
该题有一定的难度,关键在于要理解圆周运动是一种周期运动,对通过同样距离的速度不同的粒子来说,只要圆筒恰好转过整数圈,多转几圈少转几圈落点都相同。
而和有余数说明圆筒转过整数圈后又转过一定角度,余数大小与该角度大小有关,如果余数相同,速度不同的两种粒子落在同一点,如果余数不相同,速度不同的两种粒子落在不同的两点。
4.质点在竖直平面内做圆周运动
质点在竖直平面内做圆周运动涉及多个物体提供向心力,虽然不要求
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