直线和平面综合练习3Word下载.docx
- 文档编号:15184040
- 上传时间:2022-10-28
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:167.53KB
直线和平面综合练习3Word下载.docx
《直线和平面综合练习3Word下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《直线和平面综合练习3Word下载.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
∵CH∥AB
∴CH与AB确定一个平面γ
则rnα=ACrnβ=BH
∵α∥β
∴AC∥BH
∵AE=BE,CG=GH
∴EG∥BF
∴EG∥β
在ΔCHD中
∵CG=GH,CF=FD
∴GF∥HD
∴GF∥β
∵EG∩GF=G
∴平面EFG∥β
∵EF平EFG
∴EF∥β
同理EF∥α
评述:
①本题主要考查线面平行、面面平行的判定与性质
②证明线面平行的问题,可以通过线线平行或面面平行来证明,例如本例中法一选构造三角形,由三角形中位线的性质得到线线平行(即EF∥BG),从而得到线面平行(即EF∥β)。
法二构造平面EFG,然后通过中点的性质,证明线面平行(即EG∥β,FG∥β)从而得到面面平行,最终得到线面平行(即EF∥β)
③在证明平行的问题中,线线平行,线面平行,面面平行这三者之间可以相互转化,反复论证,直到证明出结论为止。
例2已知SA、SB、SC是共点于S的且不共面的三条射线,∠BSA=∠ASC=45°
∠BSC=60°
,求二面角B-SA-C的大小
分析:
先作二面角B-SA-C的平面角,根据给定的条件,在棱S上取一点P,分别是在两个平面内作直线与棱垂直
解:
在SA上取一点P
过P作PR⊥SA交SC于R
过P作PQ⊥SA交SB于Q
∴∠QPR为二面角B-SA-C的平面角设PS=a
∵∠PSQ=45°
,∠SPQ=90°
∴PQ=a,SQ=a
同理PR=a,SR=a
∵∠PSQ=60°
,SR=SQ=a
∴ΔRSQ为正三角形则RQ=a
∵PR2+PQ2=2a2=QR2
∴∠QPQ=90°
∴二面角B-SA-C为90°
①本题主要考查二面角
②作二面角的常用方法有三种,其中一种是定义法,即指在二面角的棱上取一特殊点,直接依定义作出平面角,例如本例
例3如图平面S⊥平面ACB,ΔSAC是边长为4的等边三角形,ΔACB为直角三角形,∠ACB=90°
,BC=,求二面角S-AB-C的余弦值。
先作出二面角的平面角。
由面面垂直可得线面垂直,作SD⊥平面ACB,然后利用三垂线定理作出二面角的平面角
过S点作SD⊥AC于D,过D作DM⊥AB于M,连SM
∵平面SAC⊥平面ACB
∴SD⊥平面ACB
∴SM⊥AB
又∵DM⊥AB
∴∠DMS为二面角S-AB-C的平面角
在ΔSAC中SD=4×
在ΔACB中过C作CH⊥AB于H
∵AC=4,BC=
∴AB=
∵S=1/2AB·
CH=1/2AC·
BC
∴CH=
∵DM∥CH且AD=DC
∴DM=1/2CH=
∵SD⊥平面ACBDM平面ACB
∴SD⊥DM
在RTΔSDM中
SM=
=
∴cos∠DMS=
①本题主要考查二面角的作法和转化。
②用三垂线定理或其逆定理作二面角的平面角边是一种常用的方法。
一般过其中一个面的一特殊点作另一个平面的垂线,然后再用定理作二面角的平面角,如本例中,过平面SAB中的一点S作⊥平面ACB,要判断定出垂足的位置,然后过D作DM⊥AB,并且SM由三垂线定理得SM⊥AB,从而∠SMD为二面角的平面角,或过S作SM=AB,并连DM,由三垂线定理的逆定理得DM⊥AB,从而∠SMD为二面角的平面角,或过S作SM⊥AB,并连DM,由三垂线定理的逆定理得DM⊥AB,从而∠SMD为二面角的平面角
例4如图:
二面角α<
l<
β为锐角,P为二面角内一点,P到α的距离为,到面β的距离为4,到棱l的距离为,求二面角α<
β的大小
从棱与平面角所在平面的位置关系入手,即棱与所在平面垂直,边就是说找到一个平面与棱垂直,这样平面角也就出来了
过P作PA⊥α于A
过P作PB⊥β于B则PA=,PM=4PA、PB确定平面γ
设γnl=M,则αnγ=AMβnγ=BM
∵PA⊥αl∈α
∴PA⊥l
同理PB⊥l
∴l⊥γ则PM=
∵AM,BM
∴LAM,LBM
∴AMB为二面角α<
β的平面角
连PM
在RTΔPAM中
sin∠AMP=
∴∠AMP=30°
在RTΔPMB中
sin∠PMB=
∴∠PMB=45°
∴∠AMB=∠AMP+∠BMP
=45°
+30°
=75°
∴二面角α-l-β为75°
叙述:
②垂面法也是作二面角的平面角的一种常用方法。
一般过一个特殊点或一条特殊线段(该线段与棱是垂直的)作棱的垂面,这样平面角就能作出来了。
例5已知如图,P平面ABC,PA=PB=PC,∠APB=∠APC=60°
,∠BPC=90°
求证:
平面ABC⊥平面PBC
分析一:
要证明面面垂直,只要在其呈平面内找一条线,然后证明直线与另一平面垂直即可。
显然BC中点D,证明AD垂直平PBC即可
证明一、:
取BC中点D连结AD、PD
∵PA=PB;
∠APB=60°
∴ΔPAB为正三角形
同理ΔPAC为正三角形
设PA=a
在RTΔBPC中,PB=PC=a
BC=a
∴PD=a
在ΔABC中
AD=
=a
∵AD2+PD2=
=a2=AP2
∴ΔAPD为直角三角形
即AD⊥DP
又∵AD⊥BC
∴AD⊥平面PBC
∴平面ABC⊥平面PBC
分析二、要证明面面垂直,只要在其中一平面内取一点,并过该点作另一平面的垂线,然后证明垂线在该平面。
本题过A点作AD⊥平面PBC,然后证明AD在平面ABC内即可
过A点作AD⊥平面PBC,连PD、BD、CD
∵PA=PB,∠APB=60°
∴ΔPAB为正三角形
同理ΔPAC为正三角形
∴PA=AB=AC
∴PD=BD=DC
∴D点为ΔPBC的外心
∵ΔPBC为直角三角形且∠BPC=90°
∴D在直线BC上
∵BC平面ABC
A平面ABC
∴AD平面ABC
分析三:
要证明面面垂直,只要证明两平面所构成的二面角为直二面角即用定义证明
证明三:
取BC中点D,连AD、PD
∵AC=AD,DB=DC
∴AD⊥BC
同理PD⊥BC
∴∠ADP为二面角A-BC-P的平面角
在RTΔBPC中,BD=DC
∴PD=BD
又∵AD=AD,AP=AB
∴∠ADP=∠ADB=90°
∴二面角A-BC-P为90°
即平面AB⊥平面PBC
①本题主要考查面面垂直的判定
②证明面面垂直常用的两种方法:
⑴利用判定定理,在一个平面内找到一条垂直于另外一个平面的垂线,法一中,是在平面中找出一条特殊的线段,然后证明该线段垂直于另外一个平面,法二中过其中一个平面上一点作另外一个平面的垂线,然后证明该垂线在平面内。
⑵利用定义
例6如图正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°
的二面角,求异面直线AD与BF所成角的余弦值。
①由于AD∥BC,所以把AD与BF所成角转化为∠FBC,②把∠FBC放到ΔFBC中求解,显然要找FC与BC、BF的关系③把FC转化到ΔFDC中求解
连结FC、FD,设AB=a
∵AD⊥ABAF⊥AB
∴∠DAF为二面角D-AB-F的平面角
∴∠DAF=60°
∵AD=AF=a
∴ΔADF为正三角表则DF=a
∵CD∥AB,AB⊥面ADF
∴CD⊥面ADF
∴CD⊥DF
在RTΔFDC中
FC=
在ΔFCB中,BC=a,BF=
∴cos∠FBC=
①本题主要考查异面直线所成角和二面角
②题目中有线线角,线面角,面面角时,应先把它们作出来,然后放到三角形中,充分利用三角形中边角的关系解决问题。
例7正方形ABCD中,以对角线BD为折线,把ΔABD折起,使二面角Aˊ-BD-C为60°
,求二面角B-AˊC-D的余弦值
要求二面角B-AˊC-D的余弦值,先作出二面角的平面角,抓住图形中AˊB=BC,AˊD=DC的关系,采用定义法作出平面角∠BED(E为AC的中点)然后利用余弦定理求解
连BD、AC交于O点
则AˊO⊥BD,CO⊥BD
∴∠AˊOC为二面角Aˊ-BD-C的平面角
∴∠AˊOC=60°
设正方形ABCD的边长为a
∵A′O=OC=1/2AC=
∠A′OC=60°
∴ΔA′OC为正三角形则A′C=
取A′C的中点,连DE、BE
∵A′B=BC
∴BE⊥A′C
同理DE⊥A′C
∴∠DEB为二面角B-A′C-D的平面角在ΔBA′C中
BE=
同理DE=
在ΔBED中,BD=
∴cos∠BED=
=--
∴二面角B-A′C-D的余弦值为-
①本题主要考查二面角的求法
②本题也是一个“折叠问题”,在解题过程中要分析清楚折叠前后的不变量和变量(主要指线段长度和角度。
一般情况下,折痕两边图形中的“对应”的量通常是变化的。
例如本例中ΔABD折到ΔA′BD时,A′O与BD的垂直关系没有变,但ΔA′BD中的A′点与ΔBDC中的C点之间的距离发生了变化。
例8如图在二面角α-β-γ中,A、B∈α,C、D∈l,ABCD为矩形,P∈β,PA⊥α,且PA=AD,MN依次是AB、PC的中点
⑴求二面角α-β-γ的大小
⑵求证明:
MN⊥AB
⑶求异面直线PA与MN所成角的大小
分析⑴用垂线法作二面角的平面角
⑵只要证明AB垂直于过MN的一个平面即可
⑶过点A作MN的平行线,转化为平面角求解
⑴连PD
∵PA⊥α,AD⊥l
∴PD⊥l
∴∠PDA为二面角α-β-γ的平面角
在RTΔPAD中
∵PA=PD
∴∠PDA=45°
∴二面角α-β-γ为45°
⑵设E是DC的中点,连ME、NE
∵M、N、E分别为AB、PC、D的中点
∴ME∥AD,NE∥PD
∴ME⊥l,NE⊥l
∴l⊥平面MEN
∵AB∥l
∴AB⊥平面MEN
∵MN平面MNE
∴MNAB
⑶设Q是DP听中点,连NQ、AQ
则NQ∥DC,且NQ=1/2DC
∵AM∥DC,且AM=1/2AB=1/2DC
∴QN∥AM,QN=AM
∴QNMQ为平行四边形
∴AQ∥MN
∴∠PAQ为PA与MN所成的角
∵ΔPAQ为等腰直角三角形,AQ为斜边上的中线
∴∠PAQ=45°
即PA与MN所成角的大小为45°
①本题综合考查线线角、二面角和线面垂直
②在综合题中,要把涉及到的各种角、距离在图片正确的表示出来,然后再从三角形的边角关系出发求解
例9如图平面AC和BD交
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 直线 和平 综合 练习