二次函数中的面积计算问题.docx
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二次函数中的面积计算问题
二次函数中的面积计算问题
[典型例题]
例.如图,二次函数y=x2+bx+c图象与x轴交于A,B两点(A在B的左边),与y轴交于点C,顶点为M,MAB为直角三角形,图象的对称轴为直线x=-2,点P是抛物线上位于A,C两点之间的一个动点,则
二次函数中面积问题常见类型:
一、选择填空中简单应用二、不规则三角形面积运用S=三、运用四、运用相似三角形五、运用分割方法将不规则图形转化为规则图形
且AE=BF=CG=DH,设小正方
例2.解答下列问题:
如图1,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)求△CAB的铅垂高CD及S△CAB;
9
(3)设点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点P,使S△PAB=9S△CAB,若存在,△PAB8△CAB求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
思路分析此题是二次函数中常见的面积问题,方法不唯一,可以用割补法,但有些繁琐,如图2我们可得出一种计算三角形面积的新方法:
SABC=1ah即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.掌握这个公式后,思路直接,过程较为简单,计算量相对也少许多,答案:
(1)由已知,可设抛物线的解析式为y1=a(x-1)2+4(a≠0).把A(3,0)代入解析式求得a=-1,∴抛物线的解析式为y1=-(x-1)2+4,即y1=-x2+2x+3.
设直线AB的解析式为y2=kx+b,
由y1=-x2+2x+3求得B点的坐标为(0,3).把A(3,0),B(0,3)代入y2=kx+b,解得k=-1,b=3.
∴直线AB的解析式为y2=-x+3.
2)∵C(1,4),∴当x=1时,y1=4,y2=2.∴△CAB的铅垂高CD=4-2=2.S△CAB=×3×2=3(平方单位).
3)解:
存在.
设P点的横坐标为x,△PAB的铅垂高为h.
则h=y1-y2=(-x2+2x+3)-(-x+3)=-x2+3x
19
×3×(-x2+3x)=×3.
28
整理得4x2-12x+9=0,解得x=3.
2
3
把x=3代入y1=-x2+2x+3,得y1=15.
例3.(贵州省遵义市)如图,在平面直角坐标系中,Rt△AOB的顶点坐标分别为A(0,2),O(0,0),B(4,0),把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD(点A转到点C的位置),抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过C、D、B三点.
1)求抛物线的解析式;
2)若抛物线的顶点为P,求△PAB的面积;
3)抛物线上是否存在点M,使△MBC的面积等于△PAB的面积?
若存在,请求出点M的坐标;若
不存在,请说明理由.
思路分析:
根据题目所给信息,函数关系式和△PAB的面积很容易求出。
第(3)问是二次函数中常见的动点问题,由于点M是抛物线上的一个不确定点,点M可以处于不同的位置,是由于点的不确定性而导致图形的形状发生特征上的变化,故而用分类讨论的思想解决问题。
答案:
(1)由题意知C(-2,0),D(0,4).
19119=1×(1+4)×9-1×4×2-1×(9-2)×1=6.
22222
3)假设存在这样的点M,其坐标为M(x,y).则S△MBC=|y|×6=S△PAB=6
MBC2PAB即1|y|×6=6,∴y=±2.
当y=2时,-1(x-1)2+9=2,解得x=15;22
当y=-2时,-1(x-1)2+9=-2,解得x=113.
22
∴存在点M,使△MBC的面积等于△PAB的面积,其坐标为:
M1(1+5,2),M2(1-5,2),M3(1+13,-2),M4(1-13,-2).
例4.如图,抛物线与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1>x2,与y轴交于点C(0,4),其中x1,x2是方程x2-2x-8=0的两个根.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)点P是线段AB上的动点,过点P作PE∥AC,交BC于点E,连接CP,当△CPE的面积最大时,求点P的坐标;
(3)探究:
若点Q是抛物线对称轴上的点,是否存在这样的点Q,使△QBC成为等腰三角形,若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.y
解:
(1)解方程x2-2x-8=0,得x1=-2,x2=4.
∴A(4,0),B(-2,0).∵抛物线与x轴交于A,B两点,∴可设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)(a≠0)
又∵抛物线与y轴交于点C(0,4),∴a×2×(-4)=4,
a=
∴抛物线的解析式为y=-12(x+2)(x-4),即y=-
2)设点P的坐标为(m,0),过点E作EG⊥x轴于点G,∵A(4,0),B(-2,0),∴AB=6,BP=m+2.∵PE∥AC,∴△BPE∽△BAC.
EGBPEGm+22m+4
∴=,∴=,∴EG=
COAB463
∴S△CPE=S△CBP-S△BPE
=1BP·CO-1BP·EG
22
=-13(m-1)2+3
又∵-2≤m≤4,∴当m=1时,S△CPE有最大值3.
此时点P的坐标为(1,0)
3)存在这样的点Q,使△QBC成为等腰三角形,点Q的坐标为:
Q1(1,1),Q2(1,11),Q3(1,-11),Q4(1,4+19),Q5(1,4-19)
设点Q的坐标为(1,n).yQ4
∵B(-2,0),C(0,4),∴BC2=(-2)2+42=20.
1当QB=QC时,则QB2=QC2.即(-2-1)2+y2=(-1)2+(4-y)2,∴y=1.∴Q1(1,1)
2当BC=BQ时,则BQ2=BC2.即(-2-1)2+y2=20,∴y=11.∴Q2(1,11),Q3(1,-11).
3当QC=BC时,则QC2=BC2.
即12+(4-y)2=20,∴y=419.
∴Q4(1,4+19),Q5(1,4-19).
例5.如图1,抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-3).(图2、图3为解答备用图)
(1)k=,点A的坐标为,点B的坐标为;
(2)设抛物线y=x2-2x+k的顶点为M,求四边形ABMC的面积;
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D,使四边形ABDC的面积最大?
若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)在抛物线y=x2-2x+k上求点Q,使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形.
y
图1
y
图2
y
图3
解:
(1)-3,(-1,0),(3,0);
(2)连结OM,如图1.
∵y=x2-2x+k=(x-1)2-4
∴抛物线的顶点M的坐标为(1,-4).
S四边形ABMC=S△AOC+S△COM+S△MOB
=1×1×3+1×3×1+1×3×4
222
=9
说明:
也可过点M作抛物线的对称轴,将四边形ABMC的面积转化为求
3)
4)
一个梯形与两个直角三角形面积的和.
设D(m,m2-2m-3),连结OD,如图2.
则0 S四边形ABDC=S△AOC+S△COD+S△DOB =12×1×3+12×3×m+12×3×[-(m2-2m-3)]=- =-3(m-3)2+75. 228 3 当m=3时,四边形ABDC的面积最大. 2 此时m2-2m-3=(3)2-2×3-3=-15. 224 -15),使四边形ABDC的面积最大. 4 3 ∴存在点D(3, 2 有两种情况: 如图3,过点B作BQ1⊥BC,交抛物线于点Q1、交y轴于点E, ∵在Rt△COB中,OB=OC=3,∴∠CBO=45°,∴∠EBO=45°,OB=OE=3. ∴点E的坐标为(0,3).∴直线BE的解析式为y=-x+3.令-x+3=x2-2x-3,解得x1=-2,x2=3 y1=5y2=0 ∴点Q1的坐标为(-2,5). 如图4,过点C作CF⊥CB,交抛物线于点Q2、交x轴于点F,连接BQ2. ∵∠CBO=45°,∴∠CFB=45°,∴OF=OC=3. ∴点F的坐标为(-3,0). ∴直线CF的解析式为y=-x-3.令-x-3=x2-2x-3,解得x1=1,x2=0 y1=-4y2=-3 ∴点Q2的坐标为(1,-4). 综上所述,在抛物线y=x2-2x-3上,使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形的点Q有两个,分别是: Q1(-2,5)和Q2(1,-4). [精选练习] 1.如图,AB为半圆的直径,点P为AB上一动点,动点P从点A出发,沿AB匀速运动到点B,运动时间为t,分别以AP与PB为直径做半圆,则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图像大致为() k 2.如图,已知A、B是反比例函数y=k(k>0,x<0)图象上的两点,BC∥x轴,交y轴于点C。 动点x P从坐标原点O出发,沿O→A→B→C(图中“→”所示路线)匀速运动,终点为C。 过P作PM⊥x轴,PN⊥y轴,垂足分别为M、N。 设四边形OMPN的面积为S,P点运动时间为t,则S关于t的函数图象大致为 3.如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD,AC=4BC,设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y,则y与x之间的函数关系式是 5.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB. (1)求点B的坐标; (2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式; (3)在 (2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小? 若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由. (4)如果点P是 (2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积? 若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由. 6.如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点. (1)求该抛物线的解析式; (2)设 (1)中的抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小? 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由; 7.如图,已知抛物线y=ax2+bx-4与直线y=x交于点A、B两点,A、B的横坐标分别为-1和4. (1)求此抛物线的解析式. (2)若平行于y轴的直线x=m(0 (3)在 (2)的条件下,连接OM、BM,是否
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