江苏省南京市四校届高三月考试题数学Word文档格式.docx
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5.有一组样本数据8,x,10,11,9,已知它们的平均数为10,则这组数据的方差s2=▲.
6.在如图所示的流程图中,输出的结果是▲.
7.已知数列{an}的前n项和Sn=2n+n-1,则a1+a3=▲.
8.已知圆(x-2)2+y2=1经过椭圆+=1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点,则此椭圆的离心率为▲.
9.将函数y=sin(x+)的图象上所有的点向左平移个单位,再将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),则所得图象的函数解析式为y=▲.
10.已知正四棱柱的底面边长为2,高为3,则该正四棱柱的外接球的表面积为▲.
11.如图,平面四边形ABCD中,若AC=,BD=2,则(+)·
(+)=▲.
12.若不等式4x-2x+1-a≥0在x∈[-1,1]上恒成立,则实数a的取值范围为▲.
13.若f(n)为n2+1(n∈N*)的各位数字之和,如142+1=197,1+9+7=17,则f(14)=17.记f1(n)=f(n),f2(n)=f(f1(n)),…,fk+1(n)=f(fk(n)),k∈N*,则f2011(8)=▲.
14.已知f(x)=x3,g(x)=-x2+x-a,若存在x0∈[-1,](a>0),使得f(x0)<g(x0),则实数a的取值范围是▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量m=(sinA,1),n=(1,-cosA),且m⊥n.
(1)求角A;
(2)若b+c=a,求sin(B+)的值.
16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥O—ABCD中,AD//BC,AB=AD=2BC,OB=OD,M是OD的中点.
(1)求证:
MC//平面OAB;
(2)求证:
BD⊥OA.
17.(本小题满分14分)
某工厂去年新开发的某产品的年产量为100万只,每只产品的销售价为10元,固定成本为8元.今年,工厂第一次投入100万元的科技成本,并计划以后每年比上一年多投入100万元,预计产量每年递增10万只,投入n次后,每只产品的固定成本为g(n)=(k为常数,n∈Z且n≥0).若产品销售价保持不变,第n次投入后的年纯利润为f(n)万元(年纯利润=年收入-年固定成本-年科技成本).
(1)求k的值,并求出f(n)的表达式;
(2)问从今年起,第几年纯利润最高?
最高纯利润为多少万元?
18.(本小题满分16分)
如图,椭圆的中心为原点O,已知右准线l的方程为x=4,右焦点F到它的距离为2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设圆C经过点F,且被直线l截得的弦长为4,求使OC长最小时圆C的方程.
19.(本小题满分16分)
记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2+,S3=12+.
(1)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn;
(2)记bn=an-,若自然数n1,n2,…,nk,…满足1≤n1<n2<…<nk<…,并且,,…,,…成等比数列,其中n1=1,n2=3,求nk(用k表示);
(3)试问:
在数列{an}中是否存在三项ar,as,at(r<s<t,r,s,t∈N*)恰好成等比数列?
若存在,求出此三项;
若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a≠1).
(1)当a>1时,求证:
函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值;
(3)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,试求a的取值范围.
附加题
1.附加题供选修物理的考生使用.
2.本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.答题前,考生务必将学校、姓名、准考证号写在答题纸的对应位置.答案写在答题纸上对应题目的答案空格内.考试结束后,请交回答题纸.
21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.请在答题纸指定的区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1:
几何证明选讲
如图,PA切⊙O于点,D为的中点,过点D引割线交⊙O于、两点.求证:
.
B.选修4—2:
矩阵与变换
设M=,N=,试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程.
C.选修4—4:
坐标系与参数方程
在极坐标系中,圆C的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数),求直线l被圆C所截得的弦长.
D.选修4—5:
不等式选讲
解不等式:
|2x+1|-|x-4|<2.
【必做题】第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
22.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,AB=BC=,BB1=3,D为A1C1的中点,F在线段AA1上.
(1)AF为何值时,CF⊥平面B1DF?
(2)设AF=1,求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.
23.一个袋中装有黑球,白球和红球共n(n∈N*)个,这些球除颜色外完全相同.已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是.现从袋中任意摸出2个球.
(1)若n=15,且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是,设表示摸出的2个球中红球的个数,求随机变量的概率分布及数学期望;
(2)当n取何值时,摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大,最大概率为多少?
参考答案
1.x∈R,x2-x+1≤02.[-1,4]
3.4.
5.26.20
7.78.
9.sin(x+)10.17π
11.112.(-∞,-1]
13.1114.(0,)
本大题共6小题,共计90分.
15.解:
(1)因为m⊥n,所以m·
n=0,即sinA-cosA=0.………………………2分
所以sinA=cosA,得tanA=.…………………………………………………………4分
又因为0<A<π,所以A=.………………………………………………………………6分
(2)(解法1)因为b+c=a,由正弦定理得sinB+sinC=sinA=.………………8分
因为B+C=,所以sinB+sin(-B)=.………………………………………………10分
化简得sinB+cosB=,…………………………………………………………………12分
从而sinB+cosB=,即sin(B+)=.……………………………………………14分
(解法2)由余弦定理可得b2+c2-a2=2bccosA,即b2+c2-a2=bc①.……………8分
又因为b+c=a②,
联立①②,消去a得2b2-5bc+2c2=0,即b=2c或c=2b.……………………………10分
若b=2c,则a=c,可得B=;
若c=2b,则a=b,可得B=.………………12分
所以sin(B+)=.…………………………………………………………………………14分
16.证明:
(1)设N是OA的中点,连结MN,NB.
因为M是OD的中点,所以MN//AD,且2MN=AD.……………………………………2分
又AD//BC,AD=2BC,
所以四边形BCMN是平行四边形,从而MC//NB.…………………………………………4分
又MC平面OAB,NB平面OAB,
所以MC//平面OAB;
…………………………………………………………………………7分
(2)设H是BD的中点,连结AH,OH.
因为AB=AD,所以AH⊥BD.
又因为OB=OD,所以OH⊥BD.……………………………………………………………9分
因为AH平面OAH,OH平面OAH,AH∩OH=H,
所以BD⊥平面OAH.………………………………………………………………………12分
因为OA平面OAH,所以BD⊥OA.……………………………………………………14分
17.解:
(1)由题意当n=0时,g(0)=8,可得k=8.…………………………………2分
所以,
即,n∈Z且n≥0.……………………………………………7分
(2)(解法1)由
,…………………………………………………11分
当且仅当,即n=8时取等号,…………………………………………13分
所以第8年工厂的纯利润最高,最高为520万元.………………………………………14分
(解法2)令,x≥0,
则,令,解得x=8.…………………………………………9分
当x∈(0,8),,y递增;
当x∈(8,+∞),,y递减.…………………11分
所以当x=8时,y有最大值,即当n=8时,f(n)有最大值f(8)=520.…………………13分
18.解:
(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
由题意可得,………………………………………………………………………2分
解得a=2,c=2.…………………………………………………………………………4分
从而b2=a2-c2=4.
所以椭圆的标准方程为+=1.……………………………………………………………6分
(2)设圆C的方程为(x-m)2+(y-n)2=r2,r>0.
由圆C经过点F(2,0),得(2-m)2+n2=r2,①……………………………7分
由圆C被l截得的弦长为4,得|4-m|2+()2=r2,②……………………………8分
联立①②,消去r得:
n2=16-4m.………………………………………………………10分
所以OC===.……………………………………12分
因为由n2≥0可得m≤4,
所以当m=2时,OC长有最小值2.……………………………………………………14分
此时n=±
2,r=2,故所求圆C的方程为(x-2)2+(y±
2)2=8.………………16分
19.解:
(1)因为a1=2+,S3=3a1+3d=12+,所以d=2.…………………2分
所以an=a1+(n-1)d=2n+,……………………………………………………………3分
Sn==n2+(+1)n.………………………………………………………………5分
(2)因为bn=an-=2n,所以=2nk.………………………………………………7分
又因为数列{}的首项=,公比,所以.…………9分
所以2nk,即nk.……………………………………………………………10分
(
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