高中数学导数高考真题.docx

高中数学导数高考真题.docx

《高中数学导数高考真题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学导数高考真题.docx（31页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高中数学导数高考真题

高中数学导数高考真题

一．选择题（共7小题）

1．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（　　）

A．B．C．D．

2．函数y=sinx2的图象是（　　）

A．B．C．D．

3．若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值围是（　　）

A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]

4．已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（　　）

A．﹣4B．﹣2C．4D．2

5．若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　）

A．y=sinxB．y=lnxC．y=exD．y=x3

6．函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　）

A．a＞0，b＞0，c＜0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜0

7．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值围是（　　）

A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）

二．填空题（共8小题）

8．已知函数f（x）=（2x+1）ex，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为　　．

9．函数f（x）=（x≥2）的最大值为　　．

10．已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是　　．

11．已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是　　．

12．若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=　　．

13．函数y=xex在其极值点处的切线方程为　　．

14．曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为　　．

15．已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f

（1））处的切线过点（2，7），则a=　　．

三．解答题（共15小题）

16．已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．

（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f

（1））处的切线方程；

（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值围．

17．设函数f（x）=xea﹣x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

18．设f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．

（Ⅰ）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；

（Ⅱ）已知f（x）在x=1处取得极大值，数a的取值围．

19．设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，g（x）=﹣，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）证明：

当x＞1时，g（x）＞0；

（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）恒成立．

20．设函数f（x）=lnx﹣x+1．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜＜x；

（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞cx．

21．已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值围．

22．设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：

x1+2x0=3；

（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：

g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．

23．设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．

（Ⅰ）求f′（x）；

（Ⅱ）求A；

（Ⅲ）证明：

|f′（x）|≤2A．

24．（Ⅰ）讨论函数f（x）=ex的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）ex+x+2＞0；

（Ⅱ）证明：

当a∈[0，1）时，函数g（x）=（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．

25．设函数f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：

x1+2x0=0；

（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：

g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于．

26．已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2有两个零点．

（Ⅰ）求a的取值围；

（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：

x1+x2＜2．

27．已知f（x）=a（x﹣lnx）+，a∈R．

（I）讨论f（x）的单调性；

（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．

28．设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．

（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值围；

（3）求证：

a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．

29．已知函数f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．

（1）设a=2，b=．

①求方程f（x）=2的根；

②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，数m的最大值；

（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．

30．设函数f（x）=x3+，x∈[0，1]，证明：

（Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x2

（Ⅱ）＜f（x）≤．

高中数学导数高考真题

参考答案与试题解析

一．选择题（共7小题）

1．（2016•新课标Ⅰ）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（　　）

A．B．C．D．

【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．

【解答】解：

∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，

∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，

故函数为偶函数，

当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；

当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣ex，

∴f′（x）=4x﹣ex=0有解，

故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，

故选：

D

【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．

2．（2016•）函数y=sinx2的图象是（　　）

A．B．C．D．

【分析】根据函数奇偶性的性质，以及函数零点的个数进行判断排除即可．

【解答】解：

∵sin（﹣x）2=sinx2，

∴函数y=sinx2是偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除A，C；

由y=sinx2=0，

则x2=kπ，k≥0，

则x=±，k≥0，

故函数有无穷多个零点，排除B，

故选：

D

【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键．比较基础．

3．（2016•新课标Ⅰ）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值围是（　　）

A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]

【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，对t讨论，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求围．

【解答】解：

函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，

由题意可得f′（x）≥0恒成立，

即为1﹣cos2x+acosx≥0，

即有﹣cos2x+acosx≥0，

设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，

当t=0时，不等式显然成立；

当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，

由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，

可得3a≥﹣1，即a≥﹣；

当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，

由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，

可得3a≤1，即a≤．

综上可得a的围是[﹣，]．

故选：

C．

【点评】本题考查导数的运用：

求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．

4．（2016•）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（　　）

A．﹣4B．﹣2C．4D．2

【分析】可求导数得到f′（x）=3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值．

【解答】解：

f′（x）=3x2﹣12；

∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；

∴x=2是f（x）的极小值点；

又a为f（x）的极小值点；

∴a=2．

故选D．

【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．

5．（2016•）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　）

A．y=sinxB．y=lnxC．y=exD．y=x3

【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．

【解答】解：

函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，

则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，

当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；

当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；

当y=ex时，y′=ex＞0恒成立，不满足条件；

当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；

故选：

A

【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．

6．（2015•）函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　）

A．a＞0，b＞0，c＜0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜0

【分析】分别根据函数的定义域，函数零点以及f（0）的取值进行判断即可．

【解答】解：

函数在P处无意义，由图象看P在y轴右边，所以﹣c＞0，得c＜0，

f（0）=，∴b＞0，

由f（x）=0得ax+b=0，即x=﹣，

即函数的零点x=﹣＞0，

∴a＜0，

综上a＜0，b＞0，c＜0，

故选：

C

【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及f（0）的符号是解决本题的关键．

7．（2015•新课标Ⅱ）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值围是（　　）

A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）

【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（