第12讲乘法公式Word下载.docx
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(4)平方差公式的几何意义:
如图
2.完全平方式
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(1)右边展开式的特点是:
左边两项的平方和与2倍项(含第二项的性质符号)的和.
(2)对完全平方公式的展开千万不要漏掉2倍项.
(3)在完全平方公式中,2ab前的符号与(a+b)或
(a-b)中b前面的符号是一致的.
(4)完全平方公式的几何意义:
三、重难疑点·
轻松破
1.直接利用平方差公式解题
在运用平方差公式时,要注意:
(1)是否符合平方差公式的“模型”,即看一看是不是两数和与两数差相乘.如果是,才可以用公式:
(2)要分清是哪两个数的和与差相乘,即公式中在该题中分别代表什么;
(3)为了识别出,应注意公式变形.参看重点2;
(4)应特别注意公式的逆用
例1.(3x﹣2y)2﹣(3x+2y)2
解析:
(3x﹣2y)2﹣(3x+2y)2
=[(3x﹣2y)+(3x+2y)][(3x﹣2y)﹣(3x+2y)]
=(3x﹣2y+3x+2y)(3x﹣2y﹣3x﹣2y)
=6x•(﹣4y)=﹣24xy.
点评:
本题主要考查了直接用平方差公式,整体思想的运用是解题的关键,注意去括号时符号的变化.
在利用平方差公式解题的过程中,常常把公式进行变化,主要有八种变化形式:
(1)位置变化:
.
(2)符号变化:
(3)系数变化:
(4)指数变化:
(5)增项变化;
,
(6)增因式变化:
(7)连用公式变化:
(8)逆用公式变化:
以上8种变化离不开基本的公式,同学们不必死记各种变化形态,关键还是对公式结构的理解;
变式练习1
(1)计算:
(2)阅读下列材料:
某同学在计算3(4+1)(42+1)时,把3写成4﹣1后,发现可以连续运用平方差公式计算:
3(4+1)(42+1)=(4﹣1)(4+1)(42+1)=(42﹣1)(42+1)=162﹣1.很受启发,后来在求(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22004+1)的值时,又改造此法,将乘积式前面乘以1,且把1写为2﹣1得(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22004+1)=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22004+1)=(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22004+1)=(24﹣1)(28+1)…(22004+1)=(22004﹣1)(22004+1)=24008﹣1.
回答下列问题:
①请借鉴该同学的经验,计算:
;
②借用上面的方法,再逆用平方差公式计算:
.
2.利用平方差公式的变形解题
公式()()=可变形为=()()+.
例2计算.
法一=()()+=2015×
2013+1
所以=2014.
法二此题按常规方法计算十分繁杂,考虑到2015×
2013=(2014+1)(2014-1),
故可利用平方差公式,简化了计算.
原式===2014.
本题解法一采用了平方差公式的变形应用,平中出奇有新意;
而解法二观察分析2015和2013之间的数量关系,把已知式子变形,从而利用平方差公式求解,稳扎稳打处变不惊.
变式2
若(N+2005)2=123456789,求(N+2015)(N+1995)的值.
3.直接利用完全平方式解题
只要是两数和(差)的平方,就可以应用完全平方式,应用时被平方的项可以是单项式也可以是多项式,解题时要注意“整体法”的运用.
例2.计算:
(x+3y)2﹣2(x+3y)(x﹣3y)+(x﹣3y)2.
首先把x+3y和x﹣3y分别看做一个整体,则原式符合完全平方公式,
所以(x+3y)2﹣2(x+3y)(x﹣3y)+(x﹣3y)2=[(x+3y)﹣(x﹣3y)]2,
=(x+3y﹣x+3y)2=36y2.
本题主要考查对完全平方公式的运用,关键在于首先把x+3y和x﹣3y分别看做一个整体,正确的运用完全平方公式,认真的去括号,合并同类项.
变式练习3
(2)在公式(a+b)2=a2+2ab+b2中,如果我们把a+b,a2+b2,ab分别看做一个整体,那么只要知道其中两项的值,就可以求出第三项的值.
已知a+b=6,ab=﹣27,求下列的值.
①a2+b2;
②a2+b2﹣ab;
③(a﹣b)2.
4.利用完全平方式的变形解题
根据题意要善于对公式变形应用,在解题中充分体现应用公式的思维灵活性和开阔性.完全平方公式常用的变化形式有:
(1);
(2);
(3);
(4)
三个或三个以上数的完全平方公式,可以先把一个看做一个整体,剩余部分看做一个整体,逐步利用完全平方公式.如可以把看做一个整体,看做一个整体,利用完全平方公式.
例4已知(x+y)2=100,(x﹣y)2=16,求x2+y2和xy的值.
因为(x+y)2=x2+2xy+y2,(x-y)2=x2-2xy+y2
所以x2+y2==58;
xy==21.
主要考查完全平方和公式与完全平方差公式的区别和联系.要求熟悉公式的特点会用加减的方法消元,达到解题的目的.
变式练习4
已知实数a、b满足(a+b)2=1,(a﹣b)2=25,求a2+b2+ab的值.
5.乘法公式的综合应用:
化简求值题目的一般解法是,“化简”、“代数”、“求值”,但如果题目的特点适合用乘法公式时,灵活应用公式解题,可以让运算更简洁、更迅速.
例4.先化简,再求值:
(a+b)(a-b)+(a+b)2-2a2,其中a=3,b=-.
(a+b)(a-b)+(a+b)2-2a2=a2-b2+a2+2ab+b2-2a2=2ab,当a=3,b=-时,2ab=2×
3×
=-2.
整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据,必须在理解的基础上加强记忆,并在运算时灵活运用法则进行计算.使用乘法公式时,要认清公式中a,b所表示的两个数及公式的结构特征,不要犯类似下面的错误:
变式练习5
先阅读下面的内容,再解决问题,
例题:
若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0,求m和n的值.
解:
∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0
∴(m+n)2+(n﹣3)2=0
∴m+n=0,n﹣3=0
∴m=﹣3,n=3
问题
(1)若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0,求xy的值.
(2)已知a,b,c是△ABC的三边长,满足a2+b2=10a+8b﹣41,且c是△ABC中最长的边,求c的取值范围.
四、课时作业·
轻松练
A.基础题组
1.下列多项式乘法中,可以用平方差公式计算的是( )
A、(x+1)(1+x)B、(a+b)(b﹣a)
C、(﹣a+b)(a﹣b)D、(x2﹣y)(x+y2)
2.(2011•益阳)下列计算正确的是( )
A、(x+y)2=x2+y2B、(x﹣y)2=x2﹣2xy﹣y2
C、(x+2y)(x﹣2y)=x2﹣2y2D、(﹣x+y)2=x2﹣2xy+y2
3.(2012•柳州)如图,给出了正方形ABCD的面积的四个表达式,其中错误的是()
A.(x+a)(x+a) B.x2+a2+2ax
C.(x-a)(x-a) D.(x+a)a+(x+a)x
4.若,则的值是________.
5.(2012•黔东南州)二次三项式x2﹣kx+9是一个完全平方式,则k的值是 .
6.化简:
(a﹣b)2+a(2b﹣a)
B.提升题组
7.若m≠n,下列等式中正确的是( )
①(m﹣n)2=(n﹣m)2;
②(m﹣n)2=﹣(n﹣m)3;
③(m+n)(m﹣n)=(﹣m﹣n)(﹣m+n);
④(﹣m﹣n)2=﹣(m﹣n)2.
A、1个B、2个
C、3个D、4个
8.(2012•绵阳)图
(1)是一个长为2m,宽为2n(m>n)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图
(2)那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是()
A.2mnB.(m+n)2C.(m-n)2D.m2-n2
9.若把代数式x2﹣2x﹣3化为(x﹣m)2+k的形式,其中m,k为常数,则m+k= .
10.计算20002﹣4000×
1999+19992= .
11.计算:
= .
12.(2013•苏州)照如图所示的操作步骤,若输入x的值为5,则输出的值为.
13.(a﹣2b+3c)(a+2b﹣3c)= .
14.化简:
(a+b﹣c)(a+b+c)﹣[(a﹣b)2+4ab].
中考试题初体验
15.(2012江苏无锡)已知a=x+20,b=x+19,c=x+21,那么代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是( )
A、4B、3
C、2D、1
16.(2011年连云港)若A=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1),则A﹣2003的末位数字是( )
A、0B、2
C、4D、6
17.(2012贵州贵阳)(32﹣22)2+(42﹣32)2+(52﹣42)2+(62﹣52)2= .
18.(2013•娄底)先化简,再求值:
(x+y)(x﹣y)﹣(4x3y﹣8xy3)÷
2xy,其中x=﹣1,.
19.(2013•泉州)设a,b,c,d为四边形的四边长且,试判别此四边形的形状.
20.(2012四川乐山改编)已知a,b为自然数且a+b=40,①求的最小值;
②求ab的最大值.
五、我的错题本
参考答案
变式练习
1.
(1)解析:
==
(2)解析:
①原式=2(1﹣)(1+)…(1+)+
=2(1﹣)+=2﹣+=2;
②
=(1﹣)(1+)(1﹣)(1+)…(1﹣)(1+)
=×
×
…×
=.
2.解析:
观察各式,不难发现之间的联系:
N+2015=(N+2005)+10,N+1995=(N+2005)﹣10,那么(N+2015)(N+1995)可以写成平方差公式的形式(N+2005)2﹣102,整体代入,即可求值.
(N+2015)(N+1995),
=[(N+2005)+10][(N﹣2005)﹣10],
=(N+2005)2﹣102,
(N+2005)2=123456789,
∴原式=123456789﹣100=123456689.
2.
(1)解析:
=
①由已知a+b=6可得(a+b)2=36,即:
a2+b2+2ab=36,
∵ab=﹣27,
∴a2+b2=36﹣2×
(﹣27)=90;
②由①可得a2+b2=90,
∴a2+b2﹣ab=90+27=117;
③∵(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2=a2+b2﹣2a
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- 12 乘法 公式