高一数学必修一知识点总结集合与函数概念Word文档下载推荐.docx
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b、描述法:
①区间法:
将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号表示集合。
{xR|x-3>
2},{x|x-3>
2}
②语言描述法:
例:
{不是直角三角形的三角形}
③Venn图:
画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合。
4、集合的分类:
(1)有限集:
含有有限个元素的集合
(2)无限集:
含有无限个元素的集合
(3)空集:
不含任何元素的集合
5、元素与集合的关系:
(1)元素在集合里,则元素属于集合,即:
aA
(2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:
a¢A
注意:
常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:
N
正整数集N*或N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
6、集合间的基本关系
(1).“包含”关系
(1)—子集
定义:
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集。
7、集合的运算
二、函数的概念
函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A---B为从集合A到集合B的一个函数.记作:
y=f(x),x∈A.
(1)其中,x叫做自变量,x的取值围A叫做函数的定义域;
(2)与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
函数的三要素:
定义域、值域、对应法则
函数的表示方法:
(1)解析法:
明确函数的定义域
(2)图想像:
确定函数图像是否连线,函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。
(3)列表法:
选取的自变量要有代表性,可以反应定义域的特征。
4、函数图象知识归纳
(1)定义:
在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.
(2)画法
A、描点法:
B、图象变换法:
平移变换;
伸缩变换;
对称变换,即平移。
(3)函数图像平移变换的特点:
1)加左减右——————只对x
2)上减下加——————只对y
3)函数y=f(x)关于X轴对称得函数y=-f(x)
4)函数y=f(x)关于Y轴对称得函数y=f(-x)
5)函数y=f(x)关于原点对称得函数y=-f(-x)
6)函数y=f(x)将x轴下面图像翻到x轴上面去,x轴上面图像不动得
函数y=|f(x)|
7)函数y=f(x)先作x≥0的图像,然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)
三、函数的基本性质
1、函数解析式子的求法
(1、函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2、求函数的解析式的主要方法有:
1)代入法:
2)待定系数法:
3)换元法:
4)拼凑法:
2.定义域:
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
3、相同函数的判断方法:
①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
②定义域一致(两点必须同时具备)
4、区间的概念:
(1)区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示
5、值域(先考虑其定义域)
(1)观察法:
直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域;
(2)反表示法:
针对分式的类型,把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式,由X的围类似求Y的围。
(3)配方法:
针对二次函数的类型,根据二次函数图像的性质来确定函数的值域,注意定义域的围。
(4)代换法(换元法):
作变量代换,针对根式的题型,转化成二次函数的类型。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
(4)常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数
7.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
A---B为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f(对应关系):
A(原象)---B(象)”
对于映射f:
A→B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
映射是针对自然界中的所有事物而言的,而函数仅仅是针对数字来说的。
所以函数是映射,而映射不一定的函数
8、函数的单调性(局部性质)及最值
(1、增减函数
(1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量x1,x2,当x1<
x2时,都有f(x1)<
p="
"
>
<
/x2时,都有f(x1)<
(2)如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<
函数的单调性是函数的局部性质;
函数的单调性还有单调不增,和单调不减两种
(2、图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3、函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法:
任取x1,x2∈D,且x1<
x2;
/x2;
作差f(x1)-f(x2);
变形(通常是因式分解和配方);
定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数:
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:
“同增异减”
函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
9:
函数的奇偶性(整体性质)
(1、偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2、奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;
奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
a、首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
若是不对称,则是非奇非偶的函数;
若对称,则进行下面判断;
b、确定f(-x)与f(x)的关系;
c、作出相应结论:
若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;
若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
(4)利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性
a、在公共定义域,偶函数的加减乘除仍为偶函数;
奇函数的加减仍为奇函数;
奇数个奇函数的乘除认为奇函数;
偶数个奇函数的乘除为偶函数;
一奇一偶的乘积是奇函数;
a、复合函数的奇偶性:
一个为偶就为偶,两个为奇才为奇。
函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,
(1)再根据定义判定;
(2)由f(-x)±
f(x)=0或f(x)/f(-x)=±
1来判定;
(3)利用定理,或借助函数的图象判定.
10、函数最值及性质的应用
(1、函数的最值
a利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
b利用图象求函数的最大(小)值
c利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
(2、函数的奇偶性与单调性
奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;
偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。
(3、判断含糊单调性时也可以用作商法,过程与作差法类似,区别在于作差法是与0作比较,作商法是与1作比较。
(4)绝对值函数求最值,先分段,再通过各段的单调性,或图像求最值。
(5)在判断函数的奇偶性时候,若已知是奇函数可以直接用f(0)=0,但是f(0)=0并不一定可以判断函数为奇函数。
(高一阶段可以利用奇函数f(0)=0)。
基本初等函数
一、指数函数
(一)指数
指数与指数幂的运算:
复习初中整数指数幂的运算性质:
am*an=am+n
(am)n=amn
(a*b)n=anbn
分数指数幂
正数的分数指数幂的
二、对数函数
(一)对数
2、对数函数的性质:
三、幂函数
函数的应用
方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:
对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义:
函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即:
方程有实数根,函数的图象与坐标轴有交点,函数有零点.
3、函数零点的求法:
(1)(代数法)求方程的实数根;
(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
(1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点.
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- 数学 必修 知识点 总结 集合 函数 概念
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