综合测评一 集合函数与导数Word格式.docx
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0,即x<
,故N=(-∞,),
∴∁IN=[,+∞).故M∩∁IN=[,2].
4.函数y=3|x|-1的定义域为[-1,2],则函数的值域为( )
A.[2,8]B.[0,8]
C.[1,8]D.[-1,8]
选B.x>
0时,函数y=3|x|-1是增函数,∴函数在[0,2]上的值域是[0,8];
x<
0时,函数y=3|x|-1是减函数,∴函数在[-1,0]上的值域是[0,2],∴函数在定义域[-1,2]上的值域是[0,8]∪[0,2]=[0,8],故选B.
5.设f(x)=log2x的反函数为y=f-1(x),若f-1(a)=,则a等于( )
A.B.-
C.2D.-2
选D.由f-1(a)=得f()=a,即a=log2=-2,故选D.
6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>
0时,f(x)=2x,则f(-2)=( )
A.B.-4
C.-D.4
选B.由条件得f(-2)=-f
(2)=-22=-4.
7.设p:
-1或x>
1,q:
-2或x>
1,则綈p是綈q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
选A.由条件q确定的集合是由条件p所确定集合的子集,∴q⇒p⇔綈p⇒綈q,所以綈p是綈q的充分条件,但非必要条件.
8.曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为( )
A.2B.
C.D.3
选C.∵y′=3x2,
∴曲线在(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),
令y=0,得切线与x轴的交点坐标为(,0).
切线与直线x=2交于点(2,4).
∴曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形面积S=×
(2-)×
4=.故应选C.
9.函数f(x)=的图象是( )
选C.由于f(-x)===f(x),且f(x)的定义域为R,所以f(x)为偶函数,所以它的图象应关于y轴对称,故选C.
10.
已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>
b),若f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是( )
选A.由f(x)的图象,得0<
a<
1,b<
-1,
∴g(x)为减函数,且g(0)=1+b<
0.∴A项符合题意.
11.设函数f(x)=x3,若0≤θ≤时,f(mcosθ)+f(1-m)>
0恒成立,则实数m的取值范围为( )
A.(-∞,1)B.(-∞,)
C.(0,1)D.(-∞,0)
选A.由f(x)为奇函数且f(x)为增函数可得f(mcosθ)>
f(m-1),即mcosθ>
m-1对任意的θ∈[0,]恒成立,即m(1-cosθ)<
1恒成立.①当1-cosθ=0,即θ=0时,成立;
②当1-cosθ∈(0,1],即θ∈(0,]时,m<
.又≥1,∴m<
1.故选A.
12.若函数f(x)在定义域R内可导,f(1+x)=f(1-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)>
0.设a=f(0),b=f(),c=f(3),则( )
A.a<
b<
cB.c<
b
C.c<
aD.b<
c
选D.由f(1+x)=f(1-x)可得函数f(x)的对称轴为直线x=1,故b=f()=f(2-)=f(),c=f(3)=f(1+2)=f(1-2)=f(-1).
又由x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)>
0,可知f′(x)<
0,即f(x)在(-∞,1)上是减函数,于是f(-1)>
f(0)>
f(),即c>
a>
b.故选D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.若全集U=R,A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则图中阴影部分表示的集合为________.
∵A={1,2,3,4,5,…,10},
B={-3,2},∴A∩B={2}.
即阴影部分表示的集合为{2}.
答案:
{2}
14.若lga+lgb=0(a≠1),则函数f(x)=ax与g(x)=-bx的图象关于________对称.
由lga+lgb=0⇒ab=1⇒b=,所以g(x)=-a-x,故f(x)与g(x)关于原点对称.
原点
15.定义在R上的f(x)满足f(x)=则f(2010)=________.
f(-1)=,f(0)=,f
(1)=,f
(2)=-,f(3)=-,f(4)=-,f(5)=,f(6)=,….f(n)的最小正周期T=6,故f(2010)=f(6×
335)=f(0)=.
16.给出定义:
若m-<
x≤m+(其中m为整数),则m叫做离实数x最近的整数,记作{x}=m.在此基础上给出下列关于函数f(x)=|x-{x}|的四个命题:
①函数y=f(x)的定义域为R,值域为[0,];
②函数y=f(x)的图象关于直线x=(k∈Z)对称;
③函数y=f(x)是周期函数,最小正周期为1;
④函数y=f(x)在[-,]上是增函数.
其中正确的命题的序号是________.
①由定义知:
-<
x-{x}≤,
∴0≤|x-{x}|≤
∴f(x)的值域为[0,],
∴①对,②对,③对,④错.
①②③
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)设集合A={x|x2<4},B={x|1<}.
(1)求集合A∩B;
(2)若不等式2x2+ax+b<0的解集为B,求a,b的值.
解:
(1)A={x|x2<4}={x|-2<x<2},
B={x|1<}={x|<0}
={x|-3<x<1}.
∴A∩B={x|-2<x<1};
(2)因为2x2+ax+b<0的解集为B={x|-3<x<1},
所以-3和1为2x2+ax+b=0的两根.
故,所以a=4,b=-6.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x++2的图象关于点A(0,1)对称.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)·
x+ax,且g(x)在区间[0,2]上为减函数,求实数a的取值范围.
(1)∵f(x)的图象与h(x)关于A(0,1)对称,设f(x)图象上任意一点为B(x,y),
其关于A(0,1)的对称点B′(x′,y′),
则,∴.
∵B′(x′,y′)在h(x)上,
∴y′=x′++2,
∴2-y=-x-+2,
∴y=x+,即f(x)=x+.
(2)g(x)=x2+ax+1,
∵g(x)在[0,2]上为减函数,
∴-≥2,即a≤-4,
∴a的取值范围为(-∞,-4].
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-2k2+4,若f(x)的单调减区间为(0,4).
(1)求k的值;
(2)对任意的t∈[-1,1],关于x的方程2x2+5x+a=f(t)总有实根,求实数a的取值范围.
(1)f′(x)=3kx2-6(k+1)x,
又∵f′(4)=0,∴k=1.
(2)由
(1)得f(x)=x3-6x2+2,∴f′(t)=3t2-12t.
∵当-1<
t<
0时,f′(t)>
0;
当0<
1时,f′(t)<
0,且f(-1)=-5,f
(1)=-3,∴f(t)≥-5.
∵2x2+5x+a≥,
∴≤-5,解得a≤-.
20.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=log3(ax+b)的部分图象如图所示:
(1)求f(x)的解析式与定义域;
(2)函数f(x)能否由y=log3x的图象平移变换得到;
(3)求f(x)在[4,6]上的最大值、最小值.
(1)由图象中A、B两点坐标得,解得.故f(x)=log3(2x-1),定义域为(,+∞).
(2)可以.由f(x)=log3(2x-1)=log3[2(x-)]
=log3(x-)+log32,
∴f(x)的图象是由y=log3x的图象向右平移个单位,再向上平移log32个单位得到的.
(3)最大值为f(6)=log311,最小值为f(4)=log37.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx.
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调增区间;
(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值;
(3)设g(x)=(1-a)x,若存在x0∈[,e],使得f(x0)≥g(x0)成立,求实数a的取值范围.
(1)当a=1时,f(x)=x2-3x+lnx,定义域为(0,+∞),f′(x)=2x-3+==.
令f′(x)=0,得x=1或x=.
x
(0,)
(,1)
(1,+∞)
f′(x)
+
-
f(x)
所以函数f(x)的单调增区间为(0,),(1,+∞).
(2)f′(x)=2x-(2a+1)+==,令f′(x)=0,得x=a或x=.
当a≤时,f(x)在(0,a],[,+∞)上单调增,
所以f(x)在区间[1,e]上单调增.
当<a≤1时,f(x)在(0,],[a,+∞)上单调增,
综上,当a≤1时,f(x)min=f
(1)=-2a;
当1<
e时,
(1,a)
a
(a,e)
a(lna-a-1)
所以f(x)min=f(a)=a(lna-a-1);
当a≥e时,f(x)在(0,],[a,+∞)上单调增,在(,a)上单调减,所以在[1,e]上单调减.
所以f(x)min=f(e)=e2-(2a+1)e+a.
(3)由题意,不等式f(x)≥g(x)在[,e]上有解,
即x2-2x+a(lnx-x)≥0在[,e]上有解.
因为当x∈[,1]时,lnx≤0<
x;
当x∈(1,e]时,0<
lnx≤1<
x,
所以lnx-x<
0,
所以a≤在[,e]上有解.
设h(x)=,
则h′(x)=
=,
因为x∈[,e],所以x+2>
2≥2lnx,
所以当x∈(,1)时,h′(x)<0,此时h(x)是减函数;
当x∈(1,e)时,h′(x)>
0,此时h(x)是增函数.
因为h()=<0,h(e)=>0,
所以当x∈[,e]时,h(x)max=h(e)=,
所以a≤.
所以实数a的取值范围为(-∞,].
22.(本小题满分12分)设y=f(x)为三次函数,且图象关于原点对称,当x=时
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