高二暑期第6讲 曲线与方程Word下载.docx
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掌握求轨迹方程的一般方法,理解曲线与方程的对应关系
北京
解读
2008年
2009年
2010年(新课标)
2011年(新课标)
第4题5分
第19题⑴问5分
第14题5分
1.坐标法:
在直角坐标系中确定曲线的方程,并用方程研究曲线的性质,这种研究几何的方法称为坐标法.
2.轨迹方程:
一条曲线可以看成动点的运动轨迹,曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程.
3.在平面直角坐标系中,如果曲线与方程之间具有如下关系:
⑴曲线上点的坐标都是方程的解;
⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上.
那么,曲线叫做方程的曲线,方程叫做曲线的方程.
即:
.
曲线用集合的特征描述为.
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曲线的方程和方程的曲线比较抽象,尽可能举例说明,从学过的直线、圆、圆锥曲线中挑都可以.此外,还可以举反例加深理解.比如过点且平行于轴的直线和方程之间的关系,只具备⑴,不满足⑵,因此不是直线的方程,也不是方程所表示的曲线,只是其一部分.又比如满足到两个坐标轴距离之积为()的点所成的曲线与之间的关系.
考点1:
曲线与方程的概念
【铺垫】⑴若曲线上的点的坐标都是方程的解,则下面判断正确的是()
A.曲线的方程是
B.以方程的解为坐标的点都在曲线上
C.方程表示的曲线是
D.方程表示的曲线不一定是
⑵如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确,那么以下正确的命题
是()
A.曲线上的点的坐标都满足方程.
B.坐标满足方程的点有些在上,有些不在上.
C.坐标满足方程的点都不在曲线上.
D.一定有不在曲线上的点,其坐标满足方程.
【解析】⑴D
⑵D
【例1】⑴下列哪组方程表示相同的曲线()
A.与B.与
C.与D.与
⑵设曲线的方程为,直线的方程为,点的坐标为
,那么()
A.点在曲线C上,但不在直线上B.点不在曲线C上,但在直线上
C.点既在曲线C上,又在直线上D.点既不在曲线C上,又不在直线上
⑶方程表示的曲线是()
A.一条直线和一双曲线B.两条直线C.两个点D.以上答案都不对
⑷下列命题正确的是()
A.到两坐标轴距离相等的点组成的直线的方程是
B.已知三点,,,的边上的中线方程是
C.到两坐标轴的距离的乘积是1的点的轨迹方程是
D.到轴的距离等于2的点的轨迹方程是
【解析】⑴C
⑵B
⑶C
⑷C
提高班学案1
【拓1】已知方程,
⑴判断、是否在此方程表示的曲线上;
⑵若点在此方程表示的曲线上,求.
【解析】⑴在方程表示的曲线上,不在此方程表示的曲线上.
⑵或.
目标班学案1
【拓3】⑴指出方程所表示的曲线,若点,在
曲线上,则________,______________.
⑵方程所表示的曲线为( )
A.圆B.直线 C.椭圆 D.抛物线
【解析】⑴,或.
⑵D;
1.已知两条曲线和的方程分别为和,则和的交点坐标对应方程组的实数解.
2.利用方程研究曲线的性质:
①曲线的组成和范围;
②曲线与坐标轴的交点;
③曲线的对称性质;
④曲线的变化情况;
⑤画出方程的曲线.
考点2:
曲线的交点和性质
【例2】⑴曲线与曲线的交点的个数是_________.
⑵两曲线与交于两点,此两点间的距离是()
A.小于B.等于C.等于D.大于
【解析】⑴;
⑵B.
尖子班学案1
【拓2】设,曲线和有四个交点,求的范围.
【解析】.
【例3】方程所表示的曲线()
A.关于轴对称B.关于对称C.关于原点对称D.关于对称
【解析】C;
提高班学案2
【拓1】已知是直线:
上的一点,是直线外一点,则方程表示的直线与直线的位置关系是()
A.平行B.重合C.垂直D.斜交
【解析】A;
尖子班学案2
【拓2】已知圆的方程,点在圆外,点在圆上,
则表示的曲线是()
A.就是圆
B.过点且与圆相交的圆
C.可能不是圆
D.过点且与圆同心的圆
【解析】D;
目标班学案2
【拓3】(2011北京高考14)曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论:
①曲线过坐标原点;
②曲线关于坐标原点对称;
③若点在曲线上,则的面积不大于.
其中,所有正确结论的序号是_________.
【解析】②③;
1.求曲线方程的步骤:
①建立适当的坐标系,用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标;
②写出适合条件的点的集合;
③用坐标表示条件,列出方程;
④化方程为最简形式;
⑤证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
求曲线方程时,一般②、⑤可以省略.但要注意化简前后方程的解集的统一性.
2.求曲线轨迹方程的常见方法有:
直接法、相关点法、参数法.
①直接法:
指通过解读题目的条件,明确轨迹所满足的代数关系与几何性质之后,根据题目条件或曲线的定义直接写出轨迹方程,再进行化简计算的方法.
②相关点法:
有时欲求的轨迹上的动点的坐标取决于已知曲线上的点的坐标,可以先把、表示为、的式子,再代入曲线的方程,即得点的轨迹方程,这种方法叫做相关点法(或代入法或转移法).其实质是在设条件以后,得到方程式的关键在于“代入”.
③参数法:
动点坐标、之间的关系很隐蔽时,引入恰当的参数,利用参数求得、与参数之间的关系,然后消去参数,得、之间的直接关系.运用此法的关键在于恰当的选取参数,一般的原则是:
①参数的变化必须直接影响动点的变化;
②便于消去参数;
③常用的参数有几何参数(角度、直线的斜率和截距、点的坐标、线段的长度、有向线段的数量和定比等等)和物理参数(时间、速度、位移等等).
1、求曲线的方程要注意的问题:
⑴适当建立坐标系.
坐标系建立得适当,可使运算过程简单,所得的方程也比较简单,否则会大大增加运算的繁杂与难度.在实际解题过程中,应充分利用图形的几何特性.如中心对称图形,可利用它的对称中心作为坐标原点;
轴对称图形,可以利用它的对称轴为坐标轴;
条件中若有直角,可考虑将直角的两直角边作为坐标轴等.
坐标系建立得好与坏与计算的繁简以及方程的形式有关,而与轨迹无关.
⑵根据条件列出方程.
根据曲线上的点所满足的条件列出方程是最重要的一环.应认真分析题设条件,综合利用平面几何的知识,列出几何等式,再利用解析几何的一些相关概念、公式、性质、定理等将几何等式坐标化,便得曲线的方程,还要将所得方程化简,使求得的方程是最简单的形式.
⑶证明.
还应证明上面所求得的方程就是曲线的方程.课本上说“一般情况下,化简前后方程的解集是相同的,步骤⑤(即证明完备性)可以省略不写,如有特殊情况,可适当予以说明”.不能由此得“不需要证明”的印象,而仅仅是在同解变形的前提下,不要求证明.若化简过程不是方程的同解变形,就必须注意在变形过程中是产生了增根还是减根,并在所得的方程中加以删除或补充,此时也可不必写出证明过程.
2、在求解曲线的方程时经常会出现的是产生多解或漏解的错误,在实际求解过程中要注意:
⑴注意动点所满足的某些隐含条件;
⑵注意方程变形的同解性;
⑶注意图形可能的不同位置或字母系数可能取不同值时的讨论等.
3、求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的.若是求轨迹,则不仅要求出方程,而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形,在何处等,即图形的形状、位置、大小都要加以说明、讨论等.
直接法对应例5,两问分别是代数法和几何法,相关点法对应例6,参数法对应例7.
考点3:
求轨迹方程
【例4】⑴已知的边在轴上,,,
①若,求点的轨迹方程.
②若直线与的斜率之积为,求点的轨迹方程.
③若,求点的轨迹方程.
⑵已知椭圆左、右焦点分别为和,直线过且与轴垂直,动直线与
轴垂直,交与点.则线段垂直平分线与的交点的轨迹是()
A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线
【解析】⑴①所求轨迹方程为(),轨迹为去掉一点的直线;
②所求轨迹方程为(),故所求轨迹为去除两点的椭圆;
③所求轨迹方程为(),故所求轨迹为去除两点的圆.
求动点的轨迹方程,如果动点坐标、之间的关系比较明显,那么可以用直接法.
提高班学案3
【拓1】⑴已知的边在轴上,,,若直线与的斜率之积为
(),求点的轨迹.
⑵等腰三角形底边上两个顶点为,,则顶点的轨迹方程是_______.
【解析】⑴所求轨迹方程为().
①当时,点的轨迹为去除两点的双曲线;
②当,且时,点的轨迹为去除两点的椭圆,
且当时,椭圆的焦点在轴上;
当时,椭圆的焦点在轴上;
③当时,点的轨迹为去除两点的单位圆.
⑵
【例5】⑴已知定点,点在圆上运动,则线段的中点的轨迹方程为___.
⑵已知定点,点在圆上运动,是线段上的一点,且,
则点的轨迹方程是___________.
⑵.
相关点法也可以认为是参数法的一种特殊情况.
相关点法的一般步骤:
1、建立坐标系,设动点坐标及其相关的点的坐标;
2、写出应满足的关系式……①;
3、写出与之间应满足的关系式,
并解出,……②;
4、将②代入①,得动点满足的轨迹方程,并化简.
尖子班学案3
【拓2】点是曲线上的动点,直线是线段的中垂线,则点的轨迹方程是_____________.
【例6】⑴过点作两条互相垂直的直线,,若交轴于点,交轴于点,求线
段的中点的轨迹方程.
⑵直线与圆相交于两个不同点,当取不同实数值时,
则中点的轨迹为( )
A.线段 B.圆的一部分 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分
【解析】⑴的轨迹方程为.
⑵B;
参数法的一般步骤:
1、建立坐标系,设动点坐标;
2、引入若干个参数,列出比参数个数多个的独立方程;
3、消去参数得到轨迹方程,并化简.
需要注意的是:
消参后,需要注意保持由参数引起的、的取值范围的一致性.
轨迹问题的一个难点是轨迹的范围问题,因为等价转化很困难,所以最后的范围不好限制.
高中对轨迹的范围限制的要求很不明确,一般来说,只要有范围限制的意识,对形式没有太多要求.很多问题很难求出或的范围,可以直接用文字说明,是某某曲线在某某曲线之间的部分,也可以用一些不等式直接表示出来.
目标班学案3
【拓3】已知点,分别是射线,上的动点,为坐标原点,且的面积为定值2.求线段中点的轨迹的方程.
【解析】点的轨迹方程为,为双曲线的一支.
交轨法:
(选讲)
当动点为某两条动曲线的交点,但不易直接找到动点坐标、之间的关系时,则可选取和两动曲线均相关的某个参变量作媒介,分别求出两动直线的含参变量的方程,然后联立消去参数即得所求轨迹方程,此法为参数法的特殊情形,使用的前提是“动点为某两条动曲线的交点”,关键是选好同时影响两条动曲线变化的参变量.
交轨法的一般步骤:
1、建系,设动点坐标;
2、选取影响两动曲变化的参变量,并求两动曲线的含参变量的方程;
3、联立两动曲线的方程,消
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