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将电容电压随时间的变化曲线画在图
(2)()中,这是一个指数曲线,其初始值为,衰减的终了值为零。
式
(2)中=RC,称为RC电路的时间常数,它决定了电压衰减的快慢。
的单位
即代表时间,其单位为秒。
当=时
℅U
可见时间常数等于电压衰减到初始值的所需的时间。
可以证明,指数曲线上任一点的次切距的长度都等于,见图
(2)(b),图中在点曲线的变化率
它就是曲线在点的切线的斜率。
在直角三角形中
故
这就意味着,如果在点,按曲线在该点的切线的斜率衰减,经秒后电容上的电压就会衰减到零。
[1]
下表列出RC电路放电时,电容电压随时间的变化情况
2
3
4
5
6
从表中可见,当时,衰减到初始值的5%,当时,已衰减到初始值的1%以下。
所以一般认为时,电路已经达到稳定状态。
虽然从理论上讲,当时电路才到达稳定。
RC电路放电过程中电容的放电电流和电阻的电压如下面的式子所示
上面式中的负号表示放电电流和电阻电压的实际方向与图
(1)中的参考方向相反。
在图(3)中画出了和随时间的变化曲线,从中可以清楚地看出三者之间的关系,从能量关系上讲,RC电路的放电过程实际上是电容C的电场能量转换为电阻上的热能的过程。
到达稳态后,电容上的电场能量全部转化为电阻上的热能。
这个关系可证明如下:
电容原来储存的电场能量为
在整个放电过程中,电阻上消耗的热能为
放电过程的快慢以时间常数为标志,C越大,表示储存的电场能量越大;
R越大,表示放电电流越小,这都使放电变慢。
所以,改变电路中R或C的数值,就可改变电路的时间常数,从而改变电容放电的快慢。
[2]
1.2RC电路的充电过程
图
(1)中,当开关K合向位置2时,RC串联电路即与直流电源U接通,电源通过电阻R向电容C充电。
这实际上就是图(4)的电路。
下面讨论RC充电电路的过渡过程。
选时换路,则时电路的微分方程为
(3)
式中
式(3)是一个一阶、线性、常系数、非齐次微分方程,它的通解由它的一个特解及对应的齐次微分方程的通解组成。
特解与方程中的已知函数U(即电源电压)有相同的形式,设代入式(3)得
故
因而得到方程的特解
实际上它就是微分方程中待求函数的稳态值。
因为稳态就是过渡过程在时的情况,所以稳态解必定是该微分方程的一个特解。
参看图(4),稳态时电容相当于断路,根据基尔霍夫电压定律,电容上的稳态电压等于电源电压U。
式(3)对应的齐次微分方程就是式
(1),其通解记为,则有
因此微分方程(3)的通解为
(4)
下一步是根据初始条件定积分常数A。
下面分两种情况来讨论。
[3]
1.2.1零状态
若换路瞬间时电路中的所有储能元件均没有储存能量,即电路中电容电压和电感电流均为零(初始条件为零),则称电路为零状态。
在RC电路充电过程中,零状态就是。
按照换路定律,有
将它代入通解式(4)中,得
最后得到微分方程(3)的解为
(5)
在图(5)中画出了电容的充电电压随时间的变化曲线,其中是恒定的,按指数规律衰减至零,则按指数规律增长而最终趋于稳态值。
当时
U
电容充电的过渡过程中电容上的电压由两个分量组成,如式(5)所示,其中为稳态分量,即到达稳定状态时的电压,它相当于微分方程的特解,与输入函数(电源电压)有相同的形式,故又称强制分量;
为暂态分量,它只在过渡过程中存在,随时间按指数规律衰减,最终衰减到零。
暂态分量的衰减规律只与R和C有关,而与电源无关,但它的大小则与电源电压有关。
暂态分量相当于对应的齐次微分方程的通解,有时又称为自由分量。
[4]
RC充电过程中的电流按下式求出
电阻上的电压为
将和随时间的变化曲线画在一起,如图(6)所示。
1.2.2非零状态
若在换路瞬间时,电路中的储能元件已储有能量,即已有电容电压或电感电流(初始条件不为零),则称电路处于非零状态。
在RC电路充电过程中,非零状态就是有非零值,设,按照换路定律,有
微分方程的解为
(6)
它也是由稳态分量和暂态分量组合而成。
图(7)画出了随时间变化的曲线。
当时,由初始值逐渐增加到稳态值,这是一个充电过程,如图(7)(a)所示;
当时,由初始值逐渐衰减到稳态值,这是一个放电过程,如图(7)(b)所示。
电路的电流
可见,时为正,
时为负,即两种情况下电路中电流的方向相反,它们分别为充电电流和放电电流。
电阻上的电压
讨论了RC串联电路的过渡过程后,可以归纳出解线性电路过渡过程的一般步骤:
[5]
(1)列出换路后的电路的微分方程;
(2)求微分方程的特解,即稳态分量;
(3)求对应的齐次微分方程的通解,即暂态分量;
(4)按换路定律确定过渡过程的初始值,定出积分常数。
例1:
如图(4)所示RC电路中,电容原无储能。
在时合开关K,求:
(1)电路的时间常数,
(2)电容上的电压和电流,(3)最大充电电流,(4)开关合上后时的和,(5)电容电压充到95V所需时间。
解:
(1)该RC电路的时间常数
(2)电容上的电压
电路电流
(3)开关K刚合上时,即时,电容电压()=()=0,这时电源电压全部降落在电阻R上,电路的电流
为最大充电电流,此后该电流按时间常数逐渐衰落到零。
(4)合上开关后时,即
(5)设时=95V,即
即电容电压充到95V所需时间为30。
2RL电路的过渡过程
2.1RL电路的短接
如图(8)所示,开关K原在打开位置,电路已处于稳定状态,这时电感中的电流
这也是电感电流的初始条件。
合上开关后,电路的微分方程为
这是一个齐次微分方程,它只有暂态分量,即
按照换路定律,电感电流不能跃变,即
故得
于是有(7)
电感上的电压
电感电压与电流的变化率成正比,电阻电压与电流成正比,在RL串联电路短接后的任一时刻,两者的数值相等而方向相反。
电流和电压随时间的变化曲线如图(9)所示。
从能量观点看,RL串联电路短接后,电感中原来储存的磁场能量逐渐转换为电阻中的热能而消耗掉。
这个过程的时间常数与电感L成正比,与电阻R成反比。
电感L越大,电感中储存的磁场能量越多,能量转换的时间就越长,即越大;
电阻越大,在同样电流的条件下,电阻消耗的能量就越多,能量转换的时间就越短,即越小。
而在RC串联电路中,电阻对时间常数的作用正好相反,R越大,越大。
这是因为电容中储存的电场能量而在电压相同的条件下,电阻越大,电阻消耗的能量就越小,因而能量转换的时间就越长,即越大。
[6]
2.2RL电路接通直流电压源
如图(10)就相当于这种情况,根据基尔霍夫电压定律,有
(8)
这是一个一阶、线性、常系数、非齐次微分方程,它的解是
这时微分方程(8)的稳态分量
其通解为
(9)
若换路前电感中没有电流,即,按照换路定律,有,代入上面的通解中,得
故(10)
电感和电阻上的电压分别为
图(11)画出了电流和电压随时间变化的曲线。
从能量观点看,RL电路在零状态下接通直流电源后,电感电流由零增至稳态值,电感中的磁场能量亦由零增至稳态值,而电阻R在过程中总是吸收电能的,这两部分能量均由直流电源提供。
[7]
若换路前电感中已有电流,如图(12)所示,这是一个非零状态的问题。
换路前电流
在时开关闭合,即成为一个RL接直流电源的电路。
这时,微分方程的通解仍为式(9)。
由初始条件,代入通解,得
所以
2.3RL电路接通正弦交流电源
这时的电路仍如图(10)所示,其中电压变为电路在t=0时接通,为接通电路时电源电压的初相角,又称为接入相位角。
电路接通后,电路的微分方程为
其通解,其中为对应的齐次方程的通解,形式仍为,而应为上面方程的特解,其形式应与电源电压函数的形式相同。
[8]可以设定的表示式,然后用待定常数的方法求得。
从电路上讲,就是电路电流的稳态分量(强制分量),因此可以通过相量法写出,即为
因而电路电流的通解为
若电感中原来没有电流,即,按照换路定律,,代入上式,得
最后得到电路电流
(11)
其中时间常数
=
=
从、、的表示式可以看到,电流和电压的稳态分量(强制分量)与电源电压有相似的正弦规律。
电流、电压的暂态分量(自由分量)则按同一指数规律衰减,而且这些分量前面的系数与正弦电压的接入相位角有关,即与开关合上的时刻有关。
若在开关合上时,,则
这时,=0
故==
即开关合上后不发生过渡过程,立即进入稳态。
其电流波形见图(13)()
这时,=
在这种情况下开关合上后的暂态分量(自由分量)最大。
图(13)()画出了时的电流波形。
可见,RL电路接通交流电源,电路过渡过程不仅与电源电压和电阻R、电感L有关,还与开关动作的时刻,即接入相位角有关[9]。
这一现象是RL电路接通直流电源时所没有的。
RC电路接通正弦电源也可类似计算。
在有损耗的无电源一阶电路和直流一阶电路中,电路中的电流、电压都是随时间按指数规律变化的,从初始值逐渐增长或衰减到稳态值,而且同一电路各元件电流、电压变化的时间常数都相同。
因此在过渡过程中,电路各部分的电流或电压均由初始值、稳态值和时间常数三个要素确定。
[10]若以表示稳态值,表示初始值,电路的时间常数为,则电流和电压的一般表示式为
(12)
这就是分析一阶线性电路过渡过程中电压电流的一般公式。
只要计算出初始值,稳态和时间常数三个要素,按式(12)就可直接写出结果。
因此这一方法称为一阶电路分析的三要素法[11]。
例如对RL电路的短接过程,若用三要素法分析,可先求初始值,稳态值,和电路的时间常数=,然后直接写出电路电流的表达式
上式就是解电路的微分方程所得到的电路电流式(7)。
又如对RL电路在零状态下接直流电压源的过渡过程,其初始电流,稳态电流用三要素法可直接写出
这一结果与式(10)相同。
例2:
图(14)中,L、R分别是发电机励磁绕组的电感和电阻,为励磁调节电阻。
正常运行时,开关在位置1,直流压源U通过电阻向励磁绕组提供直流电流,从而建立励磁磁场。
当不需要励磁磁场时,开关从位置1断开,因为励磁绕组电感L很大,储存的磁场能量很强,为了不烧坏开关的触头,在开关从位置1断开的同时接到位置2,使放电电阻与励磁绕组连接。
经过一段时间后,再将开关板到位置3,使电路完全断开。
现已知,电机原在稳态运行,在t=0时开关断开电源并与R接通,求:
(1)开关接通的瞬间绕组电压;
(2)开关接通后多长时间绕组电流衰减到原稳态电流的5%?
(3)写出励磁绕组电压随时间变化的表示式。
解原来稳定运行时,励磁绕组电流
这也
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