《走向高考》高三数学人教A版总复习同步练习105古典概型与几何概型Word文件下载.docx

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C.D.

[解析]　

由得，

画出0≤b≤4,0≤c≤4表示的平面区域和事件A所表示的平面区域，由几何概型易知，所求概率P＝.

3．（文）（2012·

大连部分中学联考）用一平面截一半径为5的球得到一个圆面，则此圆面积小于9π的概率是（　　）

[答案]　B

[解析]　依题意得截面圆面积为9π的圆半径为3，故球心到该截面的距离等于4，球的截面圆面积小于9π的截面到球心的距离大于4，因此所求的概率等于＝，选B.

（理）在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择3个点，刚好构成直角三角形的概率是（　　）

[解析]　从10个点中任取三个有C种方法，能构成直角三角形时，必须有两点连线为直径，这样的直径有5条，∴能构成直角三角形5×

8＝40个，

∴概率P＝＝.

4．（文）已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC<

VS－ABC的概率是（　　）

[答案]　A

[解析]　当P在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P＝1－＝，故选A.

（理）（2012·

辽宁文，11）在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（　　）

[解析]　在长为12cm的线段AB上任取一点C，设AC＝x，则BC＝12－x，∴x（12－x）>

20，∴2<

x<

10，

因此总的几何度量为12，满足矩形面积大于20cm2的点在C1与C2之间的部分，如图

∴P＝＝.

关键在于找出总长度及事件“矩形的面积大于20cm2”所表示区域的长度．

5．若在区间[0，]上随机取一个数x，则sinx的值介于0到之间的概率为（　　）

[解析]　当0≤x≤时，由0≤sinx≤得0≤x≤，根据几何概型的概率计算公式得所求概率P＝＝.

6．（2011·

山东临沂）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝（m，n）与向量b＝（1，－1）的夹角为α，则α∈（0，]的概率为（　　）

[解析]　∵θ∈，∴cosθ＝≥0，

∴m≥n，满足条件m＝n的概率为＝，

m>

n的概率与m<

n的概率相等，

∴m>

n的概率为×

＝，

∴满足m≥n的概率为P＝＋＝.

7．（2011·

浙江宁波八校联考）已知k∈Z，＝（k,1），＝（2,4），若||≤4，则△ABC是直角三角形的概率是________．

[答案]　

[解析]　∵||＝≤4，∴－≤k≤，

∵k∈Z，∴k＝－3，－2，－1,0,1,2,3，

当△ABC为直角三角形时，应有AB⊥AC，或AB⊥BC，或AC⊥BC，由·

＝0得2k＋4＝0，∴k＝－2，

∵＝－＝（2－k,3），由·

＝0得k（2－k）＋3＝0，∴k＝－1或3，

由·

＝0得2（2－k）＋12＝0，∴k＝8（舍去），故使△ABC为直角三角形的k值为－2，－1或3，

∴所求概率p＝.

8．（文）（2011·

如皋模拟）连续2次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6），记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P（A）最大时，m＝________.

[答案]　7

[解析]　连续抛掷一枚骰子2次，共有36个基本事件，两次向上的点数之和及次数如表：

和

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

次数

1

显然当两次向上的点数之和为7时概率P（A）最大．

（理）先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a、b.将a、b、5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________．

[分析]　本题有两点要点：

一是构成三角形，须满足较小的两个数的和大于第三个数；

二是构成等腰三角形，须有两个数相等．

[解析]　基本事件的总数为6×

6＝36.

∵三角形的一边长为5，

∴当a＝1时，b＝5符合题意，有1种情况；

当a＝2时，b＝5符合题意，有1种情况；

当a＝3时，b＝3或5符合题意，即有2种情况；

当a＝4时，b＝4或5符合题意，有2种情况；

当a＝5时，b∈{1,2,3,4,5,6}符合题意，即有6种情况；

当a＝6时，b＝5或6符合题意，即有2种情况．

故满足条件的不同情况共有14种，所求概率为

P＝＝.

9．（文）从集合{（x，y）|x2＋y2≤4，x∈R，y∈R}内任选一个元素（x，y），则x、y满足x＋y≥2的概率为________．

[解析]　即图中弓形面积占圆面积的比例，属面积型几何概型，概率为.

黑龙江五校联考）在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于的概率是________．

由题意可知>

，三棱锥S－ABC的高与三棱锥S－APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM、BN分别为△APC与△ABC的高，所以＝＝>

，又＝，所以>

，故所求的概率为（即为长度之比）．

10．已知函数f（x）＝－x2＋ax－b.

（1）若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；

（2）若a，b都是从区间[0,4]上任取的一个数，求f

（1）>

0成立的概率．

[解析]　

（1）a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，则基本事件总数为N＝5×

5＝25个．

函数有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b.

因为事件“a2≥4b”包含（0,0），（1,0），（2,0），（2,1），（3,0），（3,1），（3,2），（4,0），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），

所以事件“a2≥4b”的概率为P＝，

即函数f（x）有零点的概率为.

（2）a，b都是从区间[0,4]上任取的一个数，

f

（1）＝－1＋a－b>

0，即a－b>

1，

此为几何概型．如图可知，

事件“f

（1）>

0”的概率为P＝＝.

能力拓展提升

11.（文）（2011·

金华十校联考）在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的5个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是（　　）

[解析]　从5个小球中随机取出两个小球，基本事件共10个：

（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）．其中数字之差的绝对值为2的有：

（1,3），（2,4），（3,5），数字之差的绝对值为4的有：

（1,5），

故所求概率P＝＝.

威海模拟）某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a、b，则椭圆＋＝1的离心率e>

的概率是（　　）

[解析]　当a>

b时，e＝>

⇒<

⇒a>

2b，符合a>

2b的情况有：

当b＝1时，有a＝3,4,5,6四种情况；

当b＝2时，有a＝5,6两种情况，总共有6种情况，则概率是＝.

同理当a<

b时，e>

的概率也为，

综上可知e>

的概率为.

12．（文）m∈{－2，－1,0,1,2,3}，n∈{－3，－2，－1,0,1,2}，且方程＋＝1有意义，则方程＋＝1可表示不同的双曲线的概率为（　　）

A.B．1

[解析]　由题设知或

1°

时有不同取法3×

3＝9种．

2°

时有不同取法2×

2＝4种．

∴所求概率P＝＝.

（理）从－1、0、1、2这四个数中选出三个不同的数作为二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的系数组成不同的二次函数，其中使二次函数有变号零点的概率为（　　）

[解析]　首先取a，∵a≠0，∴a的取法有3种，再取b，b的取法有3种，最后取c，c的取法有2种，

∴共组成不同的二次函数3×

3×

2＝18个．

f（x）若有变号零点，不论a>

0还是a<

0，均应有Δ>

0，即b2－4ac>

0，∴b2>

4ac.

①首先b取0时，a、c须异号，a＝－1，则c有2种，a取1或2，则c只能取－1，∴共有4种．

②b＝1时，若c＝0，则a有2种，若c＝－1，a只能取2.

若c＝2，则a＝－1，共有4种．

③若b＝－1，则c只能取0，有2种．

④若b＝2，取a有2种，取c有2种，共有2×

综上所述，满足b2>

4ac的取法有4＋4＋2＋4＝14种，

13．（文）设集合A＝{x|x2－3x－10<

0，x∈Z}，从集合A中任取两个元素a，b且a·

b≠0，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线的概率为________．

[解析]　A＝{x|－2<

5，x∈Z}＝{－1,0,1,2,3,4}，

由条件知，（a，b）的所有可能取法有：

（－1,1），（－1，2），（－1,3），（－1,4），（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4），（1，－1），（2，－1），（3，－1），（4，－1），（2,1），（3,1），（4,1），（3,2），（4,2），（4,3），共20种，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，应有a>

0，b<

0，满足条件的有：

（1，－1），（2，－1），（3，－1），（4，－1）共4种，∴所求概率P＝＝.

河北保定市模拟）在区间[－1,1]上随机取一个数k，则直线y＝k（x＋2）与圆x2＋y2＝1有公共点的概率为________．

[解析]　∵直线与圆有公共点，

∴≤1，∴－≤k≤.

故所求概率为P＝＝.

14．若利用计算机在区间（0,1）上产生