重庆市中考数学题型复习题型八二次函数综合题类型一线段周长最值问题练习Word格式.docx
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到90°
之间);
ⅰ:
探究:
线段OB上是否存在定点P(P不与O、B重合),无论ON如何旋转,始终保持不变,若存在,试求出P点坐标;
若不存在,请说明理由;
ⅱ:
试求出此旋转过程中,(NA+NB)的最小值.
第4题图
5.(2016重庆渝中区校级二模)如图①,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-x2-x+交x轴于A,B两点,交y轴于点C,抛物线上一点D的横坐标为-5.
(1)求直线BD的解析式;
(2)点E是线段BD上的动点,过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当折线EF+BE最大时,在对称轴上找一点P,在y轴上找一点Q,连接QE、OP、PQ,求OP+PQ+QE的最小值;
(3)如图②,连接BC,把△OBC沿x轴翻折,翻折后的△OBC记为△OBC′,现将△OBC′沿着x轴平移,平移后△OBC′记为△O′B′C″,连接DO′、C″B,记C″B与x轴形成较小的夹角度数为α,当∠O′DB=α时,求出此时C″的坐标.
第5题图
6.(2017重庆西大附中月考)如图①,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为点D,且B(3,0),对称轴为直线x=,点E(2,0),连接CE交对称轴于点F,连接AF交抛物线于点G.
(1)求抛物线的解析式和直线CE的解析式;
(2)如图②,过E作EP⊥x轴交抛物线于点P,点Q是线段BC上一动点,当QG+QB最小时,线段MN在线段CE上移动,点M在点N上方,且MN=,请求出四边形PQMN周长最小时点N的横坐标.
第6题图
答案
1.解:
(1)抛物线y=-x2-2x+3,
令y=0,则-x2-2x+3=0,
(x-1)(x+3)=0,
x1=1,x2=-3,
∵点A在点C的左边,
∴A(-3,0),C(1,0),
令x=0,得y=3,∴B(0,3),
∴AB==3,
∴线段AB长为3.
(2)由题意可知△PFG是等腰直角三角形,设P(m,-m2-2m+3),
∴F(m,m+3),
∴PF=-m2-2m+3-m-3=-m2-3m,
∴PG=FG=PF,
△PFG周长为:
PG=FG+PF=PF+PF=-m2-3m+(-m2-3m)=-(+1)(m+)2+,
∴△PFG周长的最大值为.
2.解:
(1)令y=0,x2-x-2=0
∴x1=-1,x2=2,
∴A(-1,0),B(2,0),
令x=0,y=-2,
∴C(0,-2),
设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),
∵直线过点A、C,
∴,解得,
∴直线AC解析式为y=-2x-2;
(2)∵BO=CO,∠BOC=90°
,
∴∠ABC=45°
,∠ACO=∠EPQ,
∴tan∠ACO=tan∠EPQ=,
过Q作PE的垂线QH,垂足是H.
设QH=a,PH=2a,DH=a,a+2a=PD,a=PD,
设P(m,m2-m-2),D(m,m-2),
C△PQD=PQ+QD+PD=(++3)a=PD,
C△PQD=PD=(-m2+2m)=-(m-1)2+,
∴当m=1时,C△PQD最大=,此时P(1,-2);
(3)把点A向下平移1个单位到点A′,则A′(-1,-1)连接A′P,
∴AM+MN+PN最小值=A′P+MN=+1.
第2题解图①第2题解图②
3.解:
(1)y=x2-2x-3=(x-3)(x+1),令y=0,解得x1=-1,x2=3,
则A(-1,0),B(3,0);
(2)过点P作PQ⊥x轴于Q,过点D作DK⊥y轴于K,如解图①,
由C(0,-3),D(1,-4),得OC=OB=3,CK=DK=1,∴∠BCO=∠DCK=45°
∵BC=3,CD=,BD=2,∴BC2+CD2=BD2,∴∠BCD=90°
当∠ABP=∠CDB时,
有Rt△PQB∽Rt△BCD,
故===3,即PQ=3BQ.
设P(x,x2-2x-3),则BQ=,PQ=.
∵P点在x轴下方时,
∴-x2+2x+3=3(3-x),
整理得x2-5x+6=0,解得x1=2,x2=3(不合题意,舍去).
此时点P的坐标为(2,-3).
∴当∠ABP=∠CDB时,P的坐标为(2,-3).
第3题解图①
(3)易证△OME≌△BMF,故∠MBF=∠MOE=60°
.
连接FB并延长交抛物线对称轴于点G,如解图②,
∴当DF⊥BG时,DF取得最小值.
∵∠GBH=60°
,∴∠G=30°
∴HG=BH=2.DF=DG=2+,
∴线段DF的长的最小值为2+.
第3题解图②
4.解:
(1)在y=x+中,令x=0,则y=,令y=0,则x=-6,
∴B(0,),A(-6,0),
把B(0,),A(-6,0)代入y=ax2+bx-a-b得,∴,
∴抛物线的函数关系式为y=-x2-x+,
令y=0,则-x2-x+=0,
∴x1=-6,x2=1,
∴C(1,0);
(2)∵点M(m,0),过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点,如解图①,
∴D(m,m+),当DE为等腰三角形的底时,
作BG⊥DE于G,则EG=GD=ED,GM=OB=,
∵DM+DG=GM=OB,
∴m++(-m2-m+-m-)=,
解得:
m1=-4,m2=0(不合题意,舍去),
∴当m=-4时,△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形;
第4题解图①
存在,
∵ON=OM′=4,OB=,
∵∠NOP=∠BON,
∴当△NOP∽△BON时,===,
∴不变,
即OP=ON=×
4=3,
∴P(0,3)
如解图②,N在以O为圆心,4为半径的半圆上,由(ⅰ)知,==,
∴NP=NB,
∴(NA+NB)的最小值=NA+NP,
∴此时N,A,P三点共线,
∴(NA+NB)的最小值==3.
第4题解图②
5.解:
(1)令y=0,则-x2-x+=0,解得x=-4或1,
∴A(-4,0),B(1,0),
令x=0,则y=,
∴C(0,),
当x=-5时,y=-+5+=-2,
∴点D坐标(-5,-2),
设直线BD解析式为y=kx+b,则有,解得,
∴直线BD的解析式为y=x-.
(2)如解图①中,设BD交y轴于K,则K(0,-),设E(m,m-),则F(m,-m2-m+),
第5题解图①
∴tan∠ABD=,
∴∠ABD=30°
∴EF+EB=-m2-m+-(m-)+2(-m)=-(m+3)2+,
∴m=-3时,EF+EB的值最大,此时点E坐标(-3,-),
如解图②,作点E关于y轴的对称点N,EM⊥AB于M,连接MN,交对称轴于P,交y轴于Q,
第5题解图②
∵M、O关于对称轴对称,∴OP=PM,
E、N关于y轴对称,∴QE=QN,
∴OP+PQ+QE=PM+PQ+QN,
∴当M、N、P、Q共线时,OP+PQ+QE最小,最小值为MN的长,
在Rt△MNE中,MN===.
∴OP+PQ+QE的最小值为.
(3)如解图③中,作O′M⊥BD于M,BD==4,设O′B=a,则O′M=a,BM=a,DM=BD-BM=4-a,
第5题解图③
∵∠O′DM=∠C″BO′,∠O′MD=∠BO′C″=90°
∴△O′MD∽△C″O′B,
∴=,
∴a2+4a-32=0,解得a=4或-8(舍去),
∴C″坐标为(-3,-).
6.解:
(1)由抛物线y=ax2+bx+4的对称轴-=①,
点E(2,0)在抛物线上,则(3)2a+3b+4=0②,
由①②解得,
则抛物线的解析式为y=-x2+x+4,
又点C(0,4),E(2,0),
设直线CE的解析式为y=kx+m,
则解得,
∴直线CE的解析式为y=-2x+4.
(2)由抛物线y=-x2+x+4知,
当x=2时,y=4,
则点P的坐标为(2,4),
根据对称性得A(-,0),
由y=-2x+4知,
当x=时,y=2,F(,2),
直线AF的解析式为:
y=x+,
解方程组,解得,
点G的坐标为(,).
由sin∠OBC===,
∴当QG⊥x轴时,QG+QB最小,
∵直线BC的解析式为y=-x+4,
∴当x=时,y=,
∴点Q(,).
如解图,过点P作PK∥MN,取PK=MN=,
则四边形PMNK是平行四边形,
∴四边形PQNM的周长=PM+MN+NQ+PQ=NK+MN+NQ+PQ,
由于MN、PQ的值不变,所以只需NK+NQ最短,所以作K关于直线CE的对称点K′,连接K′Q,交CE于N,
即当K′、N、Q三点共线时,四边形PQNM的周长最短.
∵P的坐标为(2,4),PK=,PK∥CE,
∴K点横坐标xk=2+cos∠CEO=2+=,
K点纵坐标为yk=4-sin∠CEO=4-×
=3,
∴K(,3),
∵直线KK′与直线CE垂直,
∴设直线KK′的解析式为y=x+b,
则×
+b=3,解得b=,
∴直线KK′为:
解方程组,得,
则KK′与CE交点坐标为(,),
由对称特点可得K′的横坐标为×
2-=-,
K′的纵坐标为×
2-3=,
∴K′(-,),
由Q(,),设直线K′Q的解析式为y=kx+b,
则,解得,
∴直线K′Q的解析式为y=-x+,
解方程组,
解得x=,则N点的横坐标为.
第6题解图
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