专题12 函数与方程高考文科数学一轮总复习名师讲解及强化检测训练Word格式.docx
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__________的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
零点
(2)方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有________.
连续不断
(3)函数零点的判定
f(a)·
f(b)<
0
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是_________的一条曲线,并且有____________,那么,函数y=f(x)在区间___
_______内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
2.二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a>
0)零点的分布
根的分布
(m<
n<
p为常数)
图象
满足条件
x1<
x2<
m
m<
x2
f(m)<
n
p
只有一根在
(m,n)之间
或f(m)·
f(n)<
考点训练:
一、单选题
1.定义在R上的奇函数f(x)满足条件,当x∈时,f(x)=x,若函数g(x)=-ae-在区间上有4032个零点,则实数a的取值范围是
A.(0,1)B.(e,e3)
C.(e,e2)D.(1,e3)
【答案】B
【解析】分析:
根据满足条件且为奇函数,可周期为,当时,,根据与图像,判断在一个周期内的焦点情况即可求解.
详解:
因为满足条件且为奇函数,
函数,∴周期为,
∵当时,,
作与图像,
函数在区间上有个零点,
即与在且仅有两个交点,
∴即.
点睛:
本题主要考查了函数的基本性质的应用及不等式的求解,周期的求解等知识点应用,其中正确合理运用函数的基本性质是解答关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力.
2.函数的零点个数为()
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
该题考查的是有关函数零点个数的问题,在解题的过程中,将零点的个数转化为图像交点的个数,在同一个坐标系中,画出两条曲线画出,之后看两条曲线有几个交点,从而得到函数零点的个数来解决.
3.已知函数,则方程恰有两个不同的实根时,实数的取值范围是()
A.B.C.D.
作出与的函数图象,根据图象和交点个数判断的范围.
作出与的函数图象,如图所示:
设直线与相切,切点坐标为,则,解得,,.
∵方程恰有两个不同的实根
∴根据图象可知当时,两图象有两个交点.
∴实数的取值范围是
故选C.
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法
(1)直接法:
直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:
先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;
(3)数形结合法:
先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.
4.已知关于的方程为(其中),则此方程实根的个数为()
A.2B.2或3C.3D.3或4
令,则,列表考查函数的性质如下:
+
-
单调递增
单调递减
函数在有意义的区间内单调递增,
故的单调性与函数的单调性一致,
且函数的极值
绘制函数图像如图所示,
观察可得,与函数恒有3个交点,
即题中方程实根的个数为3.
本题选择C选项.
函数零点的求解与判断方法:
(1)直接求零点:
令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.
(2)零点存在性定理:
利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·
f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
(3)利用图象交点的个数:
将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
5.已知函数,函数,则函数的零点的个数为()
求出函数的解析式,推出的表达式,然后求解函数的零点.
函数,可得,
则
令,
可得,
画出与y=的图象如图所示:
由图可得:
与y=有4个交点
故有4个零点。
故选:
C.
函数零点的求解与判断
令,如果能求出解,则有几个解就有几个零点;
利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线,且,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点;
将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点,充分利用图象的对称性处理问题.
6.已知若函数只有一个零点,则实数的值为
【解析】分析:
先求出分段函数的每一段的单调性,从而得到函数的单调性,再利用函数的单调性转化为只有一个解,最后利用二次函数的图像性质得解.
解答本题关键有两点,其一是分析出函数的单调性,先利用复合函数的单调性得到函数在都是增函数,再根据端点值得到函数是单调增函数,其二是将命题转化为只有一个解.对于函数的零点问题常用的是图像法.
7.已知函数,,若对任意给定的,关于的方程在区间上总存在唯一的一个解,则实数的取值范围是()
由题意可以把问题转化为求函数f(x)和函数g(x)的值域,并有题意转化为两个函数的值域的关系问题.
解f′(x)=6ax2﹣6ax=6ax(x﹣1),
①当a=0时,f(x)=1,g(x)=,显然不可能满足题意;
②当a>0时,f'
(x)=6ax2﹣6ax=6ax(x﹣1),
x,f′(x),f(x)的变化如下:
又因为当a>0时,g(x)=﹣x+上是减函数,
对任意m∈[0,2],g(m)∈[﹣+,],
由题意,必有g(m)max≤f(x)max,且1﹣a>0,
故,解得:
≤a<1,
③当a<0时,g(x)=﹣x+上是增函数,不合题意;
综上,a∈[,1),
B.
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;
先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;
先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
8.函数是定义在上的奇函数,且为偶函数,当时,,若函数恰有一个零点,则实数的取值范围是
A.B.
C.D.
【答案】D
根据条件判断函数的周期性和对称性,求出函数在一个周期内的解析式,利用转化法进行求解即可.
∵f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x﹣1)为偶函数,
∴f(﹣x﹣1)=f(x﹣1)=﹣f(x+1),
即f(x)=﹣f(x+2),
则f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),即函数f(x)的周期是4,
∵f(x﹣1)为偶函数,∴f(x﹣1)关于x=0对称,
则f(x)关于x=﹣1对称,同时也关于x=1对称,
若x∈[﹣1,0],则﹣x∈[0,1],
此时f(﹣x)==﹣f(x),则f(x)=﹣,x∈[﹣1,0],
若x∈[﹣2,﹣1],x+2∈[0,1],
则f(x)=﹣f(x+2)=﹣,x∈[﹣2,﹣1],
若x∈[1,2],x﹣2∈[﹣1,0],
则f(x)=﹣f(x﹣2)==,x∈[1,2],
作出函数f(x)的图象如图:
由数g(x)=f(x)﹣x﹣b=0得f(x)=x+b,
由图象知当x∈[﹣1,0]时,由﹣=x+b,平方得x2+(2b+1)x+b2=0,
由判别式△=(2b+1)2﹣4b2=0得4b+1=0,得b=﹣,此时f(x)=x+b有两个交点,
当x∈[4,5],x﹣4∈[0,1],则f(x)=f(x﹣4)=,
由=x+b,平方得x2+(2b﹣1)x+4+b2=0,
由判别式△=(2b﹣1)2﹣16﹣4b2=0得4b=﹣15,得b=﹣,此时f(x)=x+b有两个交点,
则要使此时f(x)=x+b有一个交点,则在[0,4]内,b满足﹣<b<﹣,
即实数b的取值集合是4n﹣<b<4n﹣,
即4(n﹣1)+<b<4(n﹣1)+,
令k=n﹣1,
则4k+<b<4k+,
D.
9.设,,均为实数,且,,,则
解决本题,要注意①方程有实数根②函数图像与轴有交点③函数有零点三者之间的等价关系,解决此类问题时,有时候采用“数形结合”的策略往往能起到意想不到的效果.
10.己知函数,关于的方程恰好有三个不同的实数解,则的取值范围为()
画出函数图像,由韦达定理和指数式与对数式互化解得,,构造函数,,求范围。
解析:
由分段函数画出函数y=f(x)的图像,如下图
f
(1)=0.5,所以当时,有三个解。
由的韦达定理可知,,所以,,令函数,,
且,在上单调递减,所以
所以在区间上单调递增,,所以,选B.
分段常用处理方法一是分段讨论,二是数列结合,函数零点问题也常用数形结合,所以本题先画草图,找到三个根的表达式,再构造函数,利用导数求范围。
11.已知函数是定义在上的偶函数,且满足若函数有六个零点,则实数的取值范围是()
首先根据题中所给的函数解析式,将函数图像画出来,注意分段函数要明确相应的式子,当时,很容易画出抛物线段,当时,利用导数研究函数的单调性,利用函数解析式,确定出函数值的符号,从而画出函数的图像,利用偶函数的图像的对称性,得到函数图像与直线在y轴右侧有三个交点,观察图像可得结果.
该题考查的是有关函数零点的个数问题,在求解的过程中,将零点的个数问题转化为函数图像与直线的交点个数问题,结合偶函数的图像的对称性,得到在y轴右侧有三个交点,利用导数研究函数的单调性,得到函数图像的走向,从而观察图像求得结果.
12.已知函数,函数有四个不同的零点,从小到大依次为,,,,则的取值范围为()
【答案】A
先根据对称性可得,且,,再根据韦达定理可得,利用基本不等式,结合选项可得结果.
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