层次分析法的基本步骤和要点Word文件下载.doc
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层次分析法的基本步骤和要点Word文件下载.doc
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最后分析为了解决决策问题(实现决策目标)、在上述准则下,有哪些最终解决方案(措施),并将它们作为措施层因素,放在递阶层次结构的最下面(最低层)。
明确各个层次的因素及其位置,并将它们之间的关系用连线连接起来,就构成了递阶层次结构。
【案例分析】市政工程项目进行决策:
建立递阶层次结构
在市政工程项目决策问题中,市政管理人员希望通过选择不同的市政工程项目,使综合效益最高,即决策目标是“合理建设市政工程,使综合效益最高”。
为了实现这一目标,需要考虑的主要准则有三个,即经济效益、社会效益和环境效益。
但问题绝不这么简单。
通过深入思考,决策人员认为还必须考虑直接经济效益、间接经济效益、方便日常出行、方便假日出行、减少环境污染、改善城市面貌等因素(准则),从相互关系上分析,这些因素隶属于主要准则,因此放在下一层次考虑,并且分属于不同准则。
假设本问题只考虑这些准则,接下来需要明确为了实现决策目标、在上述准则下可以有哪些方案。
根据题中所述,本问题有两个解决方案,即建高速路或建地铁,这两个因素作为措施层元素放在递阶层次结构的最下层。
很明显,这两个方案于所有准则都相关。
将各个层次的因素按其上下关系摆放好位置,并将它们之间的关系用连线连接起来。
同时,为了方便后面的定量表示,一般从上到下用A、B、C、D。
。
代表不同层次,同一层次从左到右用1、2、3、4。
代表不同因素。
这样构成的递阶层次结构如下图。
合理建设市政工程,使综合效益最高(A)
目标层A
环境效益(B3)
社会效益(B2)
经济效益(B1)
准则层B
改善城市面貌(C6)
减少环境污染(C5)
方便假日出行(C4)
方便日常出行(C3)
间接带动效益(C2)
直接经济效益
(C1)
准则层C
建地铁(D2)
建高速路(D1)
措施层D
图1递阶层次结构示意图
2.构造判断矩阵并赋值
根据递阶层次结构就能很容易地构造判断矩阵。
构造判断矩阵的方法是:
每一个具有向下隶属关系的元素(被称作准则)作为判断矩阵的第一个元素(位于左上角),隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行和第一列。
重要的是填写判断矩阵。
填写判断矩阵的方法有:
大多采取的方法是:
向填写人(专家)反复询问:
针对判断矩阵的准则,其中两个元素两两比较哪个重要,重要多少,对重要性程度按1-9赋值(重要性标度值见下表)。
表1重要性标度含义表
重要性标度
含义
1
表示两个元素相比,具有同等重要性
3
表示两个元素相比,前者比后者稍重要
5
表示两个元素相比,前者比后者明显重要
7
表示两个元素相比,前者比后者强烈重要
9
表示两个元素相比,前者比后者极端重要
2,4,6,8
表示上述判断的中间值
倒数
若元素I与元素j的重要性之比为aij,则元素j与元素I的重要性之比为aji=1/aij
设填写后的判断矩阵为A=(aij)n×
n,判断矩阵具有如下性质:
(1)aij〉0
(2)aji=1/aji
(3)aii=1
根据上面性质,判断矩阵具有对称性,因此在填写时,通常先填写aii=1部分,然后再仅需判断及填写上三角形或下三角形的n(n-1)/2个元素就可以了。
在特殊情况下,判断矩阵可以具有传递性,即满足等式:
aij*ajk=aik
当上式对判断矩阵所有元素都成立时,则称该判断矩阵为一致性矩阵。
构造判断矩阵并请专家填写
接前例,征求专家意见,填写后的判断矩阵如下:
表2判断矩阵表
A
B1
B2
B3
C1
C2
C3
C4
C5
C6
1/3
D1
D2
1/5
3.层次单排序(计算权向量)与检验
对于专家填写后的判断矩阵,利用一定数学方法进行层次排序。
层次单排序是指每一个判断矩阵各因素针对其准则的相对权重,所以本质上是计算权向量。
计算权向量有特征根法、和法、根法、幂法等,这里简要介绍和法。
和法的原理是,对于一致性判断矩阵,每一列归一化后就是相应的权重。
对于非一致性判断矩阵,每一列归一化后近似其相应的权重,在对这n个列向量求取算术平均值作为最后的权重。
具体的公式是:
需要注意的是,在层层排序中,要对判断矩阵进行一致性检验。
在特殊情况下,判断矩阵可以具有传递性和一致性。
一般情况下,并不要求判断矩阵严格满足这一性质。
但从人类认识规律看,一个正确的判断矩阵重要性排序是有一定逻辑规律的,例如若A比B重要,B又比C重要,则从逻辑上讲,A应该比C明显重要,若两两比较时出现A比C重要的结果,则该判断矩阵违反了一致性准则,在逻辑上是不合理的。
因此在实际中要求判断矩阵满足大体上的一致性,需进行一致性检验。
只有通过检验,才能说明判断矩阵在逻辑上是合理的,才能继续对结果进行分析。
一致性检验的步骤如下。
第一步,计算一致性指标C.I.(consistencyindex)
第二步,查表确定相应的平均随机一致性指标R.I.(randomindex)
据判断矩阵不同阶数查下表,得到平均随机一致性指标R.I.。
例如,对于5阶的判断矩阵,查表得到R.I.=1.12
表3平均随机一致性指标R.I.表(1000次正互反矩阵计算结果)
矩阵阶数
2
4
6
8
R.I.
0.52
0.89
1.12
1.26
1.36
1.41
10
11
12
13
14
15
1.46
1.49
1.52
1.54
1.56
1.58
1.59
第三步,计算一致性比例C.R.(consistencyratio)并进行判断
当C.R.<
0.1时,认为判断矩阵的一致性是可以接受的,C.R.>
0.1时,认为判断矩阵不符合一致性要求,需要对该判断矩阵进行重新修正。
计算权向量及检验
上例计算所得的权向量及检验结果见下:
表4层次计算权向量及检验结果表
单(总)排序权值
单排序权值
0.1429
0.5000
0.7500
0.4286
0.2500
CR
0.0000
0.8333
0.1667
0.8750
0.1250
可以看出,所有单排序的C.R.<
0.1,认为每个判断矩阵的一致性都是可以接受的。
4.层次总排序与检验
总排序是指每一个判断矩阵各因素针对目标层(最上层)的相对权重。
这一权重的计算采用从上而下的方法,逐层合成。
很明显,第二层的单排序结果就是总排序结果。
假定已经算出第k-1层m个元素相对于总目标的权重w(k-1)=(w1(k-1),w2(k-1),…,wm(k-1))T,第k层n个元素对于上一层(第k层)第j个元素的单排序权重是pj(k)=(p1j(k),p2j(k),…,pnj(k))T,其中不受j支配的元素的权重为零。
令P(k)=(p1(k),p2(k),…,pn(k)),表示第k层元素对第k-1层个元素的排序,则第k层元素对于总目标的总排序为:
w(k)=(w1(k),w2(k),…,wn(k))T=p(k)w(k-1)
或I=1,2,…,n
同样,也需要对总排序结果进行一致性检验。
假定已经算出针对第k-1层第j个元素为准则的C.I.j(k)、R.I.j(k)和C.R.j(k),j=1,2,…,m,则第k层的综合检验指标
C.I.j(k)=(C.I.1(k),C.I.2(k),…,C.I.m(k))w(k-1)
R.I.j(k)
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