优秀高中数学必修5教学设计第3章 不等式7示范教案342 基本不等式 的应用一Word格式.docx

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一、知识与技能

1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式；

2.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路；

3.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达.

二、过程与方法

1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；

3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.

三、情感态度与价值观

1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验不等式的证明过程需要从理性的角度去思考，通过设置思考项，让学生探究，层层铺设，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；

2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；

3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.

教学过程

导入新课

师前一节课，我们通过问题背景，抽象出了不等式a2+b2≥2ab（a、b∈R），然后以数形结合思想为指导，从代数、几何两个背景推导出基本不等式.本节课，我们将利用基本不等式来尝试证明一些简单的不等式.

（此时，老师用投影仪给出下列问题）

推进新课

问题1.已知x、y都是正数，求证：

（1）；

（2）（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.

师前面我们研究了可以用不等式和实数的基本性质来证明不等式，请同学们思考一下，第一小问是否可以用不等式和实数的基本性质来证明此不等式呢？

（思考两分钟）

生不可以证明.

师是否可以用基本不等式证明呢？

生可以.

（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）

解：

∵x、y都是正数，∴，.∴，即.

师这位同学板演得很好.下面的同学都完成了吗？

（齐声：

完成）

［合作探究］

师请同学继续思考第二小问该如何证明？

它是否能用一次基本不等式就能证明呢？

（引导同学们积极思考）

生可以用三次基本不等式再结合不等式的基本性质.

师这位同学分析得非常好.他对要证不等式的特征观察的很细致、到位.

生∵x，y都是正数，∴x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0.∴x＋y≥2＞0，x2＋y2≥2x2y2＞0,x3+y3≥2x3y3＞0.∴可得（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2xy·

2·

2＝８x3y3，即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.

师这位同学表达得非常好，思维即严谨又周到.

（在表达过程中，对条件x，y都是正数往往忽视）

师在运用定理：

时，注意条件a、b均为正数，往往可以激发我们想到解题思路，再结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件）进行变形，进而可以得证.

问题3.求证：

.

（此处留的时间可以长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）

师利用完全平方公式，结合重要不等式：

a2＋b2≥2ab，恰当变形，是证明本题的关键.

∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2.∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2.

不等式两边同除以4，得≥，即.

师下面同学都是用这种思路解答的吗？

生也可由结论到条件去证明，即用作差法.

师这位同学答得非常好，思维很活跃，具体的过程让同学们课后去完成.

［课堂练习］

1.已知a、b、c都是正数，求证：

（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.

分析：

对于此类题目，选择定理：

（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.

∵a、b、c都是正数，

∴a＋b≥2＞0,b＋c≥2＞0,c+a≥2＞0.

∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·

2＝８abc,

即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.

2.已知（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx），求证：

（老师先分析，再让学生完成）

师本题结论中，注意互为倒数，它们的积为1，可利用公式a＋b≥2ab，但要注意条件a、b为正数.故此题应从已知条件出发，经过变形，说明为正数开始证题.

（在教师引导下，学生积极参与下列证题过程）

生∵（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx）,

∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx.

∴ax－ay＋by－bx＞0.

∴（ax－bx）－（ay－by）＞0.

∴（a－b）（x－y）＞0,

即a－b与x－y同号.

∴均为正数.

∴（当且仅当时取“＝”）.

∴.

师生共析我们在运用重要不等式a2＋b2≥2ab时，只要求a、b为实数就可以了.而运用定理：

“≥ab”时，必须使a、b满足同为正数.本题通过对已知条件变形（恰当地因式分解），从讨论因式乘积的符号来判断是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.

课堂小结

师本节课我们研究了什么问题？

同学们在本节课的研究过程中有什么收获呢？

生我们以基本不等式为基础，证明了另外一些重要、常用的不等式，并且在证明过程中进一步巩固了证明不等式常用的思想方法.（教师提出对重要、常用不等式的掌握要求）

师本节课我们用到重要不等式a2＋b2≥2ab；

两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（ab）及它们的关系证明了一些不等式，它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具（下一节我们将学习它们的应用）.我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：

，.

师同学们课后要进一步领会这些重要不等式成立的前提条件如何用.为下一节课基本不等式的实际应用打下坚实的基础.

布置作业

课本第116页，Ｂ组第1题.

板书设计

基本不等式的应用

（一）

复习引入　　　　　　　　例1　　　　　　　　　　　　方法归纳

基本不等式例2

方法引导小结

实例剖析（知识方法应用）

示范解题

备课资料

备用习题

1.已知a、b∈R+，求证：

a3+b3≥a2b+ab2.

证明:

∵a、b∈R+,

（a3+b3）-（a2b+ab2）

=a2（a-b）-b2（a-b）

=（a-b）（a2-b2）

=（a+b）（a-b）2≥0，

∴a3+b3≥a2b+ab2.

2.已知A+B+C=π，求证：

x2+y2+z2≥2xycosC+2xzcosB+2yzcosA.

分析:

“取差问号”的比较法，关键在于取差（左式－右式）后，怎么判断符号.这里可把差式看作关于x（关于y或关于z也可以）的二次三项式.

左式－右式=x2+y2+z2-2xycosC-2xzcosB-2yzcosA

=x2-2（ycosC-zcosB）x+y2+z2-2yzcosA

=［x-（ycosC+zcosB）］2+y2+z2-2yzcosA-（ycosC+zcosB）2.

又y2+z2-2yzcosA-（ycosC+zcosB）2

=y2+z2-2yzcosA-y2cos2C-z2cos2B-2yzcosBcosC

=y2sin2C+z2sin2B-2yz（cosA+cosBcosC），由于A+B+C=π,

故cosA=-cos（B+C）=-cosBcosC+sinBsinC.

∴左式-右式=［x-（ycosC+zcosB）］2+y2sin2C+z2sin2B-2yzsinBsinC=［x-（ycosC+zcosB）］2+（ysinC-zsinB）2≥0.

∴左式≥右式.

点评:

二次三项式断号常用配方法.也可由其二次项系数为正，证明它的判别式Δ≤0来进行.3.4.3　基本不等式的应用

（二）

在本节课的教学过程中，仍应强调不等式的现实背景和实际应用，真正地把不等式作为刻画现实世界中不等关系的工具.通过实际问题的分析解决，让学生去体会基本不等式所具有的广泛的实用价值，同时，也让学生去感受数学的应用价值，从而激发学生去热爱数学、研究数学.而不是觉得数学只是一门枯燥无味的推理学科.在解决实际问题的过程中，既要求学生能用数学的眼光、观点去看待现实生活中的许多问题，又会涉及与函数、方程、三角等许多数学本身的知识与方法的处理.从这个角度来说，本节课的研究是起到了对学生以前所学知识与方法的复习、应用，进而构建他们更完善的知识网络.数学建模能力的培养与锻炼是数学教学的一项长期而艰苦的任务，这一点，在本节课是真正得到了体现和落实.

根据本节课的教学内容，应用观察、阅读、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，对基本不等式展开实际应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.

教学重点1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题.

2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；

3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.

教学难点1.让学生探究用基本不等式解决实际问题；

2.基本不等式应用时等号成立条件的考查；

教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺

1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题；

1.采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；

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