高考浙江专用培优二轮专题5 第2讲 不等式问题文档格式.docx
- 文档编号:15156357
- 上传时间:2022-10-28
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:278.10KB
高考浙江专用培优二轮专题5 第2讲 不等式问题文档格式.docx
《高考浙江专用培优二轮专题5 第2讲 不等式问题文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考浙江专用培优二轮专题5 第2讲 不等式问题文档格式.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
北京卷)能说明“若a>
b,则<
”为假命题的一组a,b的值依次为________.
解析 由题意知,当a=1,b=-1时,满足a>
b,但是>
,故答案可以为1,-1.(答案不唯一,满足a>
0,b<
0即可)
答案 1,-1(答案不唯一)
3.(2018·
天津卷)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为________.
解析 由题知a-3b=-6,因为2a>
0,8b>
0,所以2a+≥2×
=2×
=2=,当且仅当2a=,即a=-3,b=1时取等号.
答案
4.(2018·
浙江卷)若x,y满足约束条件则z=x+3y的最小值是________,最大值是________.
解析 由题可得,该约束条件表示的平面区域是以(2,2),(1,1),(4,-2)为顶点的三角形及其内部区域(图略).由线性规划的知识可知,目标函数z=x+3y在点(2,2)处取得最大值,在点(4,-2)处取得最小值,则最小值zmin=4-6=-2,最大值zmax=2+6=8.
答案 -2 8
5.(2017·
浙江卷)已知a∈R,函数f(x)=|x+-a|+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是________.
解析 当x∈[1,4]时,x+∈[4,5],下面对a分三种情况讨论:
当a≥5时,f(x)=a-x-+a=2a-x-,函数的最大值为2a-4=5,解得a=(舍去);
当a≤4时,f(x)=x+-a+a=x+≤5,此时满足题意;
当4<a<5时,[f(x)]max=max{|4-a|+a,|5-a|+a},
则或
解得a=或4<a<.
综上,a的取值范围是.
考点整合
1.简单分式不等式的解法
(1)>0(<0)f(x)g(x)>0(<0);
(2)≥0(≤0)f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
2.
(1)解含有参数的一元二次不等式,要注意对参数的取值进行讨论:
①对二次项系数与0的大小进行讨论;
②在转化为标准形式的一元二次不等式后,对判别式与0的大小进行讨论;
③当判别式大于0,但两根的大小不确定时,对两根的大小进行讨论;
④讨论根与定义域的关系.
(2)四个常用结论
①ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是
②ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件是
③a>f(x)恒成立a>f(x)max.
④a<f(x)恒成立a<f(x)min.
3.利用基本不等式求最值
已知x,y∈R+,则
(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值;
(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2(x+y≥2=2).
4.二元一次不等式(组)和简单的线性规划
(1)线性规划问题的有关概念:
线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等.
(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤:
①画出可行域;
②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点;
③求出目标函数的最大值或者最小值.
5.|x-a|+|x-b|≥c(c>
0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>
0)型不等式的解法:
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;
(2)利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
(3)通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
6.不等式的证明
不等式的证明要注意和不等式的性质结合起来,常用的方法有:
比较法、作差法、作商法(要注意讨论分母)、分析法、综合法、数学归纳法、反证法,还要结合放缩和换元的技巧.
热点一 利用基本不等式求最值
[考法1] 基本不等式的简单应用
【例1-1】
(1)若直线+=1(a>
0,b>
0)过点(1,2),则2a+b的最小值为________.
(2)已知函数f(x)=2x+,若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,则实数m的最大值为________.
解析
(1)∵直线+=1(a>
0)过点(1,2),∴+=1(a>
0,且b>
0),
则2a+b=(2a+b)=4++≥4+2=8,
当且仅当=,即a=2,b=4时上式等号成立.
因此2a+b的最小值为8.
(2)由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.
∵f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>
0,
∴m≤对于x∈R恒成立.
又=f(x)+≥2=4,且=4,
∴m≤4,故实数m的最大值为4.
答案
(1)8
(2)4
探究提高 1.利用基本不等式求最值,要注意“拆、拼、凑”等变形,变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件,即“和”或“积”为定值,等号能够取得.
2.特别注意:
(1)应用基本不等式求最值时,若遇等号取不到的情况,则应结合函数的单调性求解.
(2)若两次连用基本不等式,要注意等号的取得条件的一致性,否则会出错.
[考法2] 带有约束条件的基本不等式问题
【例1-2】
(1)已知两个正数x,y满足x+4y+5=xy,则xy取最小值时,x,y的值分别为( )
A.5,5B.10,C.10,5D.10,10
(2)(2018·
学军中学模拟)设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是________.
解析
(1)∵x>0,y>0,∴x+4y+5=xy≥2+5,
即xy-4-5≥0,可求xy≥25,
当且仅当x=4y时取等号,即x=10,y=.
(2)∵4x2+y2+xy=1,
∴(2x+y)2-3xy=1,即(2x+y)2-·
2xy=1,
∴(2x+y)2-·
≤1,
解之得(2x+y)2≤,即2x+y≤.
等号当且仅当2x=y>0,即x=,y=时成立.
答案
(1)B
(2)
探究提高 在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,或对约束条件中的一部分利用基本不等式,构造不等式进行求解.
【训练1】
(1)若a,b∈R,ab>
0,则的最小值为________.
(2)已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得=4a1,则+的最小值为________.
解析
(1)∵a,b∈R,ab>
0,∴≥=4ab+≥2=4,
当且仅当即时取得等号.
(2)设等比数列{an}的公比为q,
∵a7=a6+2a5,∴a5q2=a5q+2a5,
∴q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去).
∴==4a1,
平方得2m+n-2=16=24,
∴m+n=6,
∴+=(m+n)=≥
(5+4)=,
当且仅当=,即n=2m,亦即m=2,n=4时取等号.
答案
(1)4
(2)
热点二 含参不等式恒成立问题
[考法1] 分离参数法解决恒成立问题
【例2-1】
(1)关于x的不等式x+-1-a2+2a>0对x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的取值范围为________.
(2)已知x>0,y>0,x+y+3=xy,且不等式(x+y)2-a(x+y)+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是________.
解析
(1)设f(x)=x+,因为x>0,所以f(x)=x+≥2=4.又关于x的不等式x+-1-a2+2a>0对x∈(0,+∞)恒成立,所以a2-2a+1<4,解得-1<a<3,所以实数a的取值范围为(-1,3).
(2)要使(x+y)2-a(x+y)+1≥0恒成立,则有(x+y)2+1≥a(x+y),即a≤(x+y)+恒成立.
由x+y+3=xy,得x+y+3=xy≤,
即(x+y)2-4(x+y)-12≥0,解得x+y≥6或x+y≤-2(舍去).设t=x+y,则t≥6,(x+y)+=t+.设f(t)=t+,则在t≥6时,f(t)单调递增,所以f(t)=t+的最小值为6+=,所以a≤,即实数a的取值范围是.
答案
(1)(-1,3)
(2)
探究提高 对于含参数的不等式恒成立问题,常通过分离参数,把求参数的范围化归为求函数的最值问题,a>f(x)恒成立a>f(x)max;
a<f(x)恒成立a<f(x)min.
[考法2] 函数法解决恒成立问题
【例2-2】
(1)已知f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,则a的取值范围为________.
(2)已知二次函数f(x)=ax2+x+1对x∈[0,2]恒有f(x)>0.则实数a的取值范围为________.
解析
(1)法一 f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为x=a,
①当a∈(-∞,-1)时,结合图象知,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(-1)=2a+3.
要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,
即2a+3≥a,解得-3≤a<-1;
②当a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2,
由2-a2≥a,解得-2≤a≤1.∴-1≤a≤1.
综上所述,所求a的取值范围为-3≤a≤1.
法二 设g(x)=f(x)-a,则g(x)=x2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞)上恒成立,
即Δ=4a2-4(2-a)≤0或
解得-3≤a≤1.
(2)法一 函数法.
若a>0,则对称轴x=-<0,
故f(x)在[0,2]上为增函数,且f(0)=1,
因此在x∈[0,2]上恒有f(x)>0成立.
若a<0,则应有f
(2)>0,即4a+3>0,
∴a>-.∴-<a<0.
综上所述,a的取值范围是a>-且a≠0.
法二 分离参数法.
当x=0时,f(x)=1>0成立.
当x≠0时,ax2+x+1>0变为a>--,
令g(x)=--.
∴当≥时,g(x)∈.
∵a>--,∴a>-.
又∵a≠0,∴a的取值范围是a>-且a≠0.
答案
(1)[-3,1]
(2)∪(0,+∞)
探究提高 参数不易分离的恒成立问题,特别是与二次函数有关的恒成立问题的求解,常用的方法是借助函数图象根的分布,转化为求函数在区间上的最值或值域问题.
【训练2】
(1)若不等式x2-ax+1≥0对于一切a∈[-2,2]恒成立,则x的取值范围是________.
(2)已知不等式≥|a2-a|对于x∈[2,6]恒成立,则a的取值范围是________.
解析
(1)因为a∈[-2,2],可把原式看作关于a的函数,
即g(a)=-xa+x2+1≥0,
由题意可知解之得x∈R.
(2)设y=,y′=-<0,
故y=在x∈[2,6]上单调递减,即ymin==,
故不等式≥|a2-a|对于x∈[2,6]恒成立等价于
|a2-a|≤恒成立,化简得
解得-1≤a≤2,故a的取值范围是[-1,2].
答案
(1)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考浙江专用培优二轮专题5 第2讲 不等式问题 高考 浙江 专用 二轮 专题 不等式 问题
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)