最新一轮复习专题数列中的存在性问题Word下载.docx
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解题思路:
先假设存在,根据题目条件,列出一个含有两个变量(一般至少都为正整数)的等式,即转化为一个数论中的双整数问题,然后分离变量。
如果可以分离常数,则利用数论中约数的知识列出所有可能情况,最后进行双检验,即对两个变量均进行条件检验;
如果不可以分离常数,则利用分离出的变量所具有的隐含范围(如大于0)消元,进而构造一个不等式,解出另一个变量的范围,再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值,分别求出对应的另一个存在性变量,最后进行检验。
例2、【2010南通一模】
设等差数列的前项和为且.
(1)求数列的通项公式及前项和公式;
(2)设数列的通项公式为,问:
是否存在正整数t,使得
成等差数列?
若存在,求出t和m的值;
若不存在,请说明理由.
【解】
(1)设等差数列的公差为d.由已知得………………2分
即解得……………………………………………………………4分.
故.…………………………………………………………………6分
(2)由
(1)知.要使成等差数列,必须,即,………………………………………………………………8分.
(3)整理得,……………………………………………………………11分
因为m,t为正整数,所以t只能取2,3,5.
当时,;
当时,.
故存在正整数t,使得成等差数列.………………………………15分
例3、设数列的前项和,数列满足.
(Ⅰ)若成等比数列,试求的值;
(Ⅱ)是否存在,使得数列中存在某项满足成等差数列?
若存在,请指出符合题意的的个数;
解:
(Ⅰ)因为,所以当时,……………………3分
又当时,,适合上式,所以()…………………4分
所以,则,由,
得,解得(舍)或,所以………………7分
(Ⅱ)假设存在,使得成等差数列,即,则
,化简得…………………………………12分
所以当时,分别存在适合题意,
即存在这样,且符合题意的共有9个………………………………………14分
例4、【2010徐州三模】
已知数列是各项均不为0的等差数列,为其前项和,且满足,令,数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式及数列的前n项和为;
(2)是否存在正整数,使得成等比数列?
若存在,求出所有的的值;
(1)因为是等差数列,由,
又因为,所以,………………………………………………………2分
由
所以.……………………………6分
(2)由
(1)知,,所以,
若成等比数列,则,即.……8分
解法一:
由,可得,
所以,……………………………………………………………12分
从而:
,又,且,所以,此时.
故可知:
当且仅当,使数列中的成等比数列。
…………16分
解法二:
因为,故,即,………12分
,(以下同上).
3、三个存在型变量------连续的
这类问题的形式一般是,“是否存在连续的三项,恰好成等差数列(或等比数列)”。
可以先假设存在,然后构造一个关于单存在性变量的方程,即转化为一个方程有正整数根的问题,我们可以按照处理零点问题的方法(“解方程”或者“画图像”)求解。
例5、【扬州2010一模】
已知数列,.
⑴求证:
数列为等比数列;
⑵数列中,是否存在连续的三项,这三项构成等比数列?
试说明理由;
⑶设,其中为常数,且,
,求A∩B.
⑴∵=,∴,
∵∴为常数
∴数列为等比数列------------------------------------------------------------4分
⑵取数列的连续三项,
∵,
,∴,即,
∴数列中不存在连续三项构成等比数列;
------------------------------------------9分
⑶当时,,此时;
当时,为偶数;
而为奇数,此时;
当时,,此时;
----------------------------------------------12分
当时,,发现符合要求,
下面证明唯一性(即只有符合要求)。
由得,
设,则是上的减函数,
∴的解只有一个
从而当且仅当时,即,此时;
下面同理可证明唯一性(即只有符合要求)。
综上,当,或时,;
当时,,
当时,。
------------------------------16分
4、三个存在型变量------不同的
这类问题的形式一般是,“是否存在不同的三项……,恰好成等差数列(或等比数列)”,不难看出,三个存在型变量均出现在下标,这就等于给定了两个隐含条件,其一,三个变量均为正整数,其二,三个变量互不相等。
另外,一旦我们主动去分析数列的单调性,那么我们就可以不妨设出这三个变量的一个大小顺序。
具体的,该类问题可以分成三类。
其一,等差中找等比(无理有理找矛盾)
例6、【扬州2010三模】
已知数列满足:
(为常数),
数列中,。
⑴求;
⑵证明:
数列为等差数列;
⑶求证:
数列中存在三项构成等比数列时,为有理数。
⑴由已知,得,
,。
……………………………4分
⑵,
∴,又,
∴数列是首项为,公差为的等差数列。
……………………………………9分
⑶证明:
由⑵知,……………………………………………10分
若三个不同的项成等比数列,、、为非负整数,且,则,得,……………………………12分
若,则,得==,这与矛盾。
…………14分
若,则,
∵、、为非负整数,
∴是有理数。
………………………………………………………………16分
例7、等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+,S3=9+3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;
(2)设bn=(n∈N*),求证:
数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
(1)解:
由已知得
∴d=2,
故an=2n-1+,Sn=n(n+).
(2)证明:
由
(1)得bn==n+.
假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列,则
即(q+)2=(p+)(r+),
∴(q2-pr)+(2q-p-r)=0.
∵p,q,r∈N*,
∴
∴2=pr,(p-r)2=0,
∴p=r.这与p≠r相矛盾.
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
其二,等比中找等差(化简成整式,通过等式两边同除公比的最小次方,进而等式两边,一边为公比的倍数,另一边不是公比的倍数,矛盾);
例8、【无锡市2010年秋学期高三期末考试】
由部分自然数构成如图的数表,用表示第行第个数(),使,每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数的之和。
设第行中各数之和为。
(1)求;
(2)用表示;
(3)试问:
数列中是否存在不同的三项,,()恰好成等差数列?
若存在,求出,,的关系;
若不存在,请说明理由。
(1)……………………………………………………………………2分
(2)
=;
……………………………………………………………………6分
(3)∵,∴……………………………8分
所以是以为首项,2为公比的等比数列,………………9分
则…………………………………………11分
若数列中存在不同的三项恰好成等差数列,
不妨设,显然是递增数列,则…………………12分
即2,化简得:
………………………………(*)…………………………14分
由于,且,知≥1,≥2,
所以(*)式左边为偶数,右边为奇数,
故数列中不存在不同的三项恰好成等差数列。
………………………………………………………………………………………16分
例9、【2010届江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学】
已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*).
⑴求数列{an}的最大项;
⑵设bn=,试确定实常数p,使得{bn}为等比数列;
⑶设,问:
数列{an}中是否存在三项,,,使数列,,是等差数列?
如果存在,求出这三项;
如果不存在,说明理由.
解⑴由题意an=2+,随着n的增大而减小,所以{an}中的最大项为a1=4.…4分
⑵bn===,若{bn}为等比数列,
则b–bnbn+2=0(n∈N*)所以[(2+p)3n+1+(2–p)]2–[{2+p)3n+(2–p)][(2+p)3n+2+(2–p)]=0(n∈N*),
化简得(4–p2)(2·
3n+1–3n+2–3n)=0即–(4–p2)·
3n·
4=0,解得p=±
2.………………………7分
反之,当p=2时,bn=3n,{bn}是等比数列;
当p=–2时,bn=1,{bn}也是等比数列.所以,当且仅当p=±
2时{bn}为等比数列.……………………………………………………………………………………10分
⑶因为,,,若存在三项,,,使数列,,是等差数列,则,所以=,…………12分
化简得(*),
因为,
所以,,
所以,,(*)
左边,
右边,所以(*)式不可能成立,
故数列{an}中不存在三项,,,使数列,,是等差数列.……………16分
例10、【无锡市2011一模】
一、消费者分析已知数列的首项,.
(1)求证:
(2)记,若,求最大的正整数.
(3)年龄优势(3)是否存在互不相等的正整数,使成等差数列,且成等比数列,如果存在,请给出证明;
如果不存在,请说明理由.
(1)∵,∴,………………………2分
根本不知道□且∵,∴,……………………………3分
参考文献与网址:
∴数列为等比数列.…………………………………4分
4.WWW。
google。
com。
cn。
大学生政策2004年3月23日
(2)由
(1)可求得,∴.……………5分
10元以下□10~50元□50~100元□100元以上□,…7分
(四)DIY手工艺品的“个性化”若,则,∴.………………………………9分
开了连锁店,最大的好处是让别人记住你。
“漂亮女生”一律采用湖蓝底色的装修风格,简洁、时尚、醒目。
“品牌效应”是商家梦寐以求的制胜法宝。
(3)假设存在,则,……………………10分
∵,∴.……………………12分
我们女生之所以会钟爱饰品,也许是因为它的新颖,可爱,实惠,时尚,简单等。
的确,手工艺品价格适中。
也许还有更多理由和意义。
那么大学生最喜欢哪种手工艺品呢?
此次调查统计如下图(1-3)化简得:
,………………………………………………………13分
∵,当且仅当时等号成立.…………………15分
又互不相等,∴不存在.………
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- 最新 一轮 复习 专题 数列 中的 存在 问题