大学生年数学建模大赛优秀论文Word文档格式.docx
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2.若两炼油厂的具体位置由下图所示,其中A厂位于郊区(图中的I区域),B厂位于城区(图中的II区域),两个区域的分界线用图中的虚线表示。
图中各字母表示的距离(单位:
千米)分别为a=5,b=8,c=15,l=20。
若所有管线的铺设费用均为7.2万元/每千米。
但铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用,为对此项附加费用进行估计,聘请三家工程咨询公司(其中公司一具有甲级资质,公司二和公司三具有乙级资质)进行了估算。
估算结果如下表所示:
工程咨询公司
公司一
公司二
公司三
附加费用(万元/千米)
21
24
20
请给出管线布置方案及相应的费用,使得所用费用最少。
3.在该实际问题中,为进一步节省费用,可以根据炼油厂的生产能力,选用相适应的油管。
这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元,输送B厂成品油的每千米6.0万元,共用管线费用为每千米7.2万元,拆迁等附加费用同上。
请给出管线最佳布置方案及相应的费用。
二、问题分析
问题一:
通过分析题目条件可知,问题一主要让我们在当非共用管道与共用管道费用相同和不同两种情况下,讨论两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离不同情形,找车站的位置使车站到两炼油厂的输油管的铺设费用最省。
①:
当非共用管道与共用管道费用相同时,那么找车站到两炼油厂最短路径,即是输油管的铺设费用最省,再讨论是否需要共用管道,若要,从那点开始使用共用管道;
②:
当非共用管道与共用管道费用不相同时,通过势能最小原理,找到平衡点,确定、厂和铁路线关系,是否需要共用管道使输油管的铺设费用最省。
问题二:
两炼油厂有了具体的位置,但涉及到城市与郊区之分,考虑到在城市设立在郊区增加了附加费用,所以要把城市与郊区分开讨论。
具体过程如下图:
但附加费用不确定,所以设计院在确定附加费用时,聘请了三家工程咨询公司,其估算具有随意性,其费用在一定范围内波动,为更加精确其估算值,用层次分析确定其值。
结合附加费和铺设费得出其总费用,最后求极值。
问题三:
问题三只在第二问的基础上将各个运输管道的费用区分开来,具体求解类似于问题二。
三、问题假设
1、两家炼油厂生产的是同一种成品油。
2、输油管在两地间是沿直线铺设的。
3、管线铺设没有浪费。
四、符号说明
:
铺设管道的总费用
输油管汇集点的坐标
炼油厂的坐标
问题二和三中输油管分界点的纵坐标
拆迁和工程补偿等附加费用
共用管道的费用
非共用管道的费用(注:
)
总铺设管线的长度
五、模型的建立与求解
问题一的模型及求解:
问题一要求我们针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形,提出最优设计方案。
由于共用管道和非共用管道的费用有相同和不同两种情况,因此分共用管道和非共用管道的费用相同和共用管道和非共用管道的费用不相同两种情况来讨论。
模型一:
共用管道和非共用管道的费用相同
假设厂在厂的左边,,以铁路线为轴,以过点并且垂直于轴的直线为轴,建立如图1.1所示的坐标系,设、两厂的位置即坐标为:
,,不妨设:
,设点为共用管和非共用管道交汇点坐标为:
,到轴的距离为。
、为非共用管道距离,为共用管道距离,为共用和非共用管道总距离。
图1.1:
、点在坐标轴中位置图
过点作轴的垂线记为直线,点在直线上移动。
直线位置有如下三种情况:
(1)时,即直线在厂上方。
此时管道总长度取得的不是最小值。
所以此种情况舍去。
(2)时,可以取得最小值,但是此种情况需要共用管道。
(3)时,直线与轴重合,即点与点重合,有可以取得最小值,此种情况不需要共用管道。
下面沿用参考文献【1】的方法证明
(2)、(3)两种情况。
可以求出两炼油厂的位置到铁路的距离之间的关系,进而确定点的位置。
在坐标轴上取厂关于直线的对称点,连接,。
如图1.2:
图1.2:
最短路径示意图
为了便于计算,我们先把值看成是定值。
的坐标为。
记,根据三角形两边之和大于第三边易证:
令。
对求导得:
令,解得:
,(由,此值舍去)。
由得:
化简得:
(1)当时,经计算得出,那么在区间上单调减。
当时,。
此种情况下得到点的坐标为。
即点与点重合时,值最小,此种情况有共用管道,最省费用为:
。
(2)当时,经计算得出函数在区间
上单调减函数。
在区间上单调增。
所以
当时,的坐标为。
那么直线的方程为:
,
直线的方程为:
联立上述两个方程解得:
,。
所以当点的坐标为时,值最小。
计算得出的斜率为,的斜率为,所以有,那么点是费马点即此种情况有共用管道使用。
此时最省费用为:
(3)当时,经计算得出,即在区间上单调增。
所以当时,最小,。
此时,点在铁路线上,即在x轴上,为直线与x轴交点,值最小。
此种情况没有共用管道,最省费用为:
模型二:
共用管道和非共用管道的费用不相同
由假设2:
输送、两厂成品油的非共用管道的铺设费用相同,设非共用管道的费用每千米为万元,,设共用管道的费用每千米为万元。
那么和有如下关系:
证明
(2):
假如,说明单个共用管道比两个非共用管道费用还多,这种情况下,使用共用管道比使用非共用管道的费用还高,不符合题目的最省的要求。
所以不成立。
因此成立。
根据三角形三边性质,以,,为三边定能构成三角形。
那么铺设输油管道的总费用为:
为求点位置,使总费用最小。
如下图1.3过点做轴垂线为直线,过点做轴垂线为直线且与,的夹角分别为:
图1.3:
点受力分析图
参考文献【2】和【3】,我们可以把求该铺设输油管道的总费用的最小问题看作求独立系统势能最小问题。
定理:
(独立体系势能最小原理)当独立系统势能最小时,系统达到平衡状态,系统所受合力为零。
该定理结论如图1.4所示:
图1.4:
势能最小原理图
由图1.4所示,三个物体、、和线段、、构成势能系统;
只有当系统稳定时,势能最小,此时系统所受合力为0。
针对本问题,把图1.3中、、看成图1.4三个物体、、;
图1.3中线段、、对应图1.4中线段、、。
用力学平衡原理对点进行受力分析,沿轴方向受力分析为:
(1);
沿轴方向受力分析为:
(2)。
联立
(1),
(2)式可以得到:
(3),(4)
因为,
由余弦定理得:
(5)
由正切定理得:
(6),(7)
联立(3)、(4)、(5)、(6)、(7)式可以得到方程组:
解得,分别为:
对,值分如下进行情况讨论:
(1)当时,推算出,进而计算出的值为:
此时点在轴上坐标为:
,此种情况没有共用管道,最少费用管道铺设示意图如下:
图1.5:
最少费用管道铺设示意图
最省费用为:
(2)当,时,推算出,,此种情况点与点重合,并且有共用管道,最省管道铺设示意图如下:
图1.6:
(3)当,时,推算出,,(此时)点与点重合,并且有共用管道,最省管道铺设示意图如下:
图1.7:
(4)当,时,推算出,
,此种情况下,点在与之间,并且有共用管道,最省管道示意图如下:
图1.8:
总结以上两大情况:
一:
当共用管道和非共用管道的费用相同时
(1)若,厂坐标之间满足时,在点处用共用管道,共用管道长度为,最省费用为:
(2)若,厂坐标之间满足时,在点
处共用管道,并且点为费马点,共用管道长度为,最省费用为:
(3)若,厂坐标之间满足时,不需要共用管道,最省费用为:
二:
当共用管道和非共用管道的费用不相同时
(1)若,厂坐标之间满足时,不需要共用管道,点在,最省费用为:
。
(2)若,厂坐标之间满足,时,需要共用管道,点与点重合为:
,共用管道长度为,最省费用为:
(3)若,厂坐标之间满足,时,需要共用管道,点与点重合为:
(4)若,厂坐标之间满足,
时,需要共用管道,点在、点之间,共用管道长度是,最省费用为:
模型三:
问题二的模型建立及求解
本问题在问题一的基础上添加了城区与郊区的区别,各管线的费用仍然相同,但在城区铺设管线需要增加附加费用,,所以只需要对车站建在城区和郊区分开来考虑。
情况一:
将车站设在郊区内。
建立如图2.1所示的管线铺设模拟图:
以铁路为轴,为轴,线段是在城区铺设的管线,点为两种管线的交接点,点为需要建立的车站,虚
线是城区与郊区的分界线。
根据上图可以得出总费用的目标函数为:
根据勾股定律可以求得每一条管线的长度,分别为:
总费用为:
约束条件:
虽然三家工程咨询公司对附加费用的估算都不一样,且三家公司的资质也不一样,但是可以得出附加费用的范围是,然后得到铺设管线的费用的范围。
将对入目标函数,结合约束条件,用lingo解得铺设管线的费用的范围是:
万元。
为了得到一个较为准确的费用值,我们根据所咨询的三个公司画出图2.2的层次图,用层次分析法对三家公司求取权重值,然后得到较为合理的附加费用。
图2.2:
层次图
我们对这三个公司重要性进行比较,得出判断矩阵为:
用matlab求得最大特征值为,对应的正规化向量:
一致性指标:
根据表2.1可知随机一致性指标
表2.1:
1~9矩阵的平均随机一致性指标
阶数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.00
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
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