等腰三角形典型例题练习含答案Word文档下载推荐.docx
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③MN∥AB
其中正确结论的个数是( )
1
2
3
二.填空题(共1小题)
3.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于 _________ .
三.解答题(共15小题)
4.在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E、F分别为AB、AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°
,求证DE=DF.
5.在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E.请说明DE=BD+EC.
6.>已知:
如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF.请判断△ABC是什么三角形并说明理由.
7.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,使CE=CD.连接DE.
(1)∠E等于多少度
(2)△DBE是什么三角形为什么
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,CD是AB边上的高,∠A=30°
.求证:
AB=4BD.
9.如图,△ABC中,AB=AC,点D、E分别在AB、AC的延长线上,且BD=CE,DE与BC相交于点F.求证:
DF=EF.
10.已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边.∠B的角平分线交AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,
求证:
BD=2CE.
11.(2012•牡丹江)如图①,△ABC中.AB=AC,P为底边BC上一点,PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH.证明过程如下:
如图①,连接AP.
∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,
∴S△ABP=AB•PE,S△ACP=AC•PF,S△ABC=AB•CH.
又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC,
∴AB•PE+AC•PF=AB•CH.
∵AB=AC,
∴PE+PF=CH.
(1)如图②,P为BC延长线上的点时,其它条件不变,PE、PF、CH又有怎样的数量关系请写出你的猜想,并加以证明:
(2)填空:
若∠A=30°
,△ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时,则AB边上的高CH= _________ .点P到AB边的距离PE= _________ .
12.数学课上,李老师出示了如下的题目:
“在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由”.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论
当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:
AE _________ DB(填“>”,“<”或“=”).
(2)特例启发,解答题目
解:
题目中,AE与DB的大小关系是:
AE _________ DB(填“>”,“<”或“=”).理由如下:
如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).
13.已知:
如图,AF平分∠BAC,BC⊥AF于点E,点D在AF上,ED=EA,点P在CF上,连接PB交AF于点M.若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由.
14.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.
(1)线段AD与BE有什么关系试证明你的结论.
(2)求∠BFD的度数.
15.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°
,F为AB延长线上一点,点E在BC上,BE=BF,连接AE、EF和CF,
AE=CF.
16.已知:
如图,在△OAB中,∠AOB=90°
,OA=OB,在△EOF中,∠EOF=90°
,OE=OF,连接AE、BF.问线段AE与BF之间有什么关系请说明理由.
17.(2006•郴州)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,过D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F,CG是AB边上的高.
(1)DE,DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系并加以证明;
(2)若D在底边的延长线上,
(1)中的结论还成立吗若不成立,又存在怎样的关系请说明理由.
18.如图甲所示,在△ABC中,AB=AC,在底边BC上有任意一点P,则P点到两腰的距离之和等于定长(腰上的高),即PD+PE=CF,若P点在BC的延长线上,那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系写出你的猜想并加以证明.
参考答案与试题解析
考点:
角平分线的性质.
分析:
由已知条件进行思考,结合利用角平分线的性质可得点D到AB的距离等于D到AC的距离即CD的长,问题可解.
解答:
∵∠C=90°
,AD平分∠BAC交BC于D
∴D到AB的距离即为CD长CD=5﹣3=2故选C.
①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是( )
平行线分线段成比例;
全等三角形的判定与性质;
等边三角形的性质.
由△ACD和△BCE是等边三角形,根据SAS易证得△ACE≌△DCB,即可得①正确;
由△ACE≌△DCB,可得∠EAC=∠NDC,又由∠ACD=∠MCN=60°
,利用ASA,可证得△ACM≌△DCN,即可得②正确;
又可证得△CMN是等边三角形,即可证得③正确.
∵△ACD和△BCE是等边三角形,∴∠ACD=∠BCE=60°
,AC=DC,EC=BC,
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB,即∠ACE=∠DCB,∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴AE=BD,故①正确;
∴∠EAC=∠NDC,∵∠ACD=∠BCE=60°
,∴∠DCE=60°
,∴∠ACD=∠MCN=60°
,
∵AC=DC,∴△ACM≌△DCN(ASA),∴CM=CN,故②正确;
又∠MCN=180°
﹣∠MCA﹣∠NCB=180°
﹣60°
=60°
∴△CMN是等边三角形,∴∠NMC=∠ACD=60°
,∴MN∥AB,故③正确.故选D.
3.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于 1:
3 .
相似三角形的判定与性质;
首先根据题意求得:
∠DFE=∠FED=∠EDF=60°
,即可证得△DEF是正三角形,又由直角三角形中,30°
所对的直角边是斜边的一半,得到边的关系,即可求得DF:
AB=1:
,又由相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得结果.
∵△ABC是正三角形,∴∠B=∠C=∠A=60°
∵DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°
∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°
,∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°
,,
∴△DEF是正三角形,∴BD:
DF=1:
①,BD:
3②,△DEF∽△ABC,
①÷
②,=,∴DF:
,∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1:
3.
故答案为:
1:
角平分线的定义.
过D作DM⊥AB,于M,DN⊥AC于N,根据角平分线性质求出DN=DM,根据四边形的内角和定理和平角定义求出∠AED=∠CFD,根据全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可.
证明:
过D作DM⊥AB,于M,DN⊥AC于N,
即∠EMD=∠FND=90°
∵AD平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC,∴DM=DN(角平分线性质),∠DME=∠DNF=90°
∵∠EAF+∠EDF=180°
,∴∠MED+∠AFD=360°
﹣180°
=180°
∵∠AFD+∠NFD=180°
,∴∠MED=∠NFD,
在△EMD和△FND中
,∴△EMD≌△FND,∴DE=DF.
等腰三角形的判定与性质;
平行线的性质.
根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,和DE∥BC,利用两直线平行,内错角相等和等量代换,求证出DB=DO,OE=EC.然后即可得出答案.
∵在△ABC中,OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠OCB,
∵DE∥BC,∴∠DOB=∠OBC=∠DBO,∠EOC=∠OCB=∠ECO,
∴DB=DO,OE=EC,∵DE=DO+OE,∴DE=BD+EC.
等腰三角形的判定;
全等三角形的判定与性质.
用(HL)证明△EBD≌△FCD,从而得出∠EBD=∠FCD,即可证明△ABC是等腰三角形.
△ABC是等腰三角形.
连接AD,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°
,且DE=DF,
∵D是△ABC的BC边上的中点,∴BD=DC,
∴Rt△EBD≌Rt△FCD(HL),∴∠EBD=∠FCD,∴△ABC是等腰三角形.
(1)∠E等于多少度
(2)△DBE是什么三角形为什么
等边三角形的性质;
等腰三角形的判定.
(1)由题意可推出∠ACB=60°
,∠E=∠CDE,然后根据三角形外角的性质可知:
∠ACB=∠E+∠CDE,
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