锐角三角函数教案.doc
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锐角三角函数教案.doc
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第一章直角三角形的边角关系
1.1锐角三角函数
(2)
一、知识点
1.认识锐角三角函数——正弦、余弦
2.用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比,用正弦、余弦进行简单的计算.
二、教学目标
知识与技能
1.能利用相似的直角三角形,探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦,理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系.
2.能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比,能够用正弦、余弦进行简单的计算.
过程与方法
1.经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
2、体会解决问题的策略的多样性,发展实践能力和创新精神.
情感态度与价值观
1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲,学有用的数学.
2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯.
三、重点与难点
重点:
理解正弦、余弦的数学定义,感受数学与生活的联系.
难点:
体会正弦、余弦的数学意义,并用它来解决生活中的实际问题.
四、复习引入
设计意图:
以练代讲,让学生在练习中回顾正切的含义,避免死记硬背带来的负面作用(大脑负担重,而不会实际运用),测量旗杆高度的问题引发学生的疑问,激起学生的探究欲望.
五、探究新知
探究活动1(出示幻灯片4):
B1
B2
A
C1
C2
如图,请思考:
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2的关系是;
(2);
(3)如果改变B2在斜边上的位置,则;
思考:
从上面的问题可以看出:
当直角三角形的一个锐角的大小已确定时,它的对边与斜边的比值__________,根据是______________________________________.
它的邻边与斜边的比值呢?
设计意图:
1、在相似三角形的情景中,让学生探究发现:
当直角三角形的一个锐角大小确定时,它的对边与斜边的比值也随之确定了.类比学习,可以知道,当直角三角形的一个锐角大小确定时,它的邻边与斜边的比值也是不变的.2、在探究活动中发现的规律,学生能记忆得更加深刻,这比老师帮助总结,学生被动接受和记忆要有用得多.
归纳概念
1、正弦的定义:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角∠A的对边BC与斜边AB的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA=________.
2、余弦的定义:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角∠A的邻边AC与斜边AB的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA=______.
3、锐角A的正弦,余弦,正切和余切都叫做∠A的三角函数.
温馨提示
(1)sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角;
(2)sinA,cosA中常省去角的符号“∠”.但∠BAC的正弦和余弦表示为:
sin∠BAC,cos∠BAC.∠1的正弦和余弦表示为:
sin∠1,cos∠1;
(3)sinA,cosA没有单位,它表示一个比值;
(4)sinA,cosA是一个完整的符号,不表示“sin”,“cos”乘以“A”;
(5)sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长没有必然的关系.
设计意图:
1、类比正切的定义,让学生理解正弦和余弦的含义;2、让学生了解:
求一个角的三角函数,是指求这个角的正切、正弦和余弦,不是单指某一个值;3、正弦和余弦容易出现一些不规范的表示方法,在这里先进行明确,可以减少日后不必要的错误.
探究活动2:
我们知道,梯子的倾斜程度与tanA有关系,tanA越大,梯子越陡,那么梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗?
是怎样的关系?
设计意图:
在探究中进一步让学生理解正弦和余弦的含义,体会正弦和余弦的生活意义,避免数学知识的枯燥无味,通过利用正弦和余弦来描述梯子的倾斜程度拓展了学生思维,感受到从不同角度去解释一件事物的合理性,感受数学与生活的联系.
探索发现:
梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系:
sinA越大,梯子;
cosA越,梯子越陡.请大家拿出我们课前准备的模拟墙体和两架模拟梯子:
(1)首先,把两架梯子摆在同一面墙上,使其中一架梯子比较陡。
(2)我们在摆的过程中,要仔细观察,认真思考,探索一下,要想把一个
梯子摆得陡一些,除了与倾斜角的大小有关之外,还与那些因素有关呢?
(3)通过观察,我们可以得到:
要想把一个梯子摆得陡一些,与梯子的对边与邻边有关。
那么是不是单纯地与倾斜角的对边或邻边有关呢?
为了探索这个一般规律,请同学们接着来摆梯子,使其中一架梯子比较陡。
这一次,我们要边摆,边度量每个梯子倾斜角的对边与邻边,并计算每个倾斜角的对边与邻边的比值,之后每组填好实验报告。
(展示数据及结论)
探究活动3:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=20,sinA=0.6,求BC和cosB.
通过上面的计算,你发现sinA与cosB有什么关系呢?
sinB与cosA呢?
在其它直角三角形中是不是也一样呢?
请举例说明.
小结规律:
在直角三角形中,一个锐角的正弦等于另一个锐角的.
设计意图:
在探究中进一巩固正弦和余弦的定义,同时发现直角三角形中两个锐角的三角函数值之间存在一定的关系,拓展学生的知识储备.
六、归类提升
类型一:
已知直角三角形两边长,求锐角三角函数值
例1、在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5,求A的三个三角函数值.
类型二:
利用三角函数值求线段的长度
例2、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200,sinA=0.6,求BC的长
七、总结延伸
1、锐角三角函数定义:
sinA=,cosA=,tanA=;
2、温馨提示:
(1)sinA,cosA,tanA,是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形);
(2)sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号;
(3)sinA,cosA,tanA都是一个比值,注意区别,且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位;
(4)sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长没有必然关系;
(5)角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
3、在用三角函数解决一般三角形或四边形的实际问题中,应注意构造直角三角形.
设计意图:
课堂小结,检查学生掌握情况,同时能对知识进行及时梳理,有利于学生归纳和消化,特别对于重要的方法提示和要注意的细节,能再次呈现,使学生印象深刻.
A
B
C
D
八、随堂小测
1、下图中∠ACB=90°,CD⊥AB指出∠A的对边、邻边。
2、1题中如果CD=5,AC=10,则sin∠ACD=sin∠DCB=
A
3、如图:
在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求:
sinB,cosB,tanB
B
C
设计意图:
设计各种题型,可以检验学生的方法掌握情况,同时巩固学生的知识,提高学生的运用能力,若时间不允许该部分也可作为课后作业完成.
b
A
B
C
a
┌
c
sinA=cosB,cosA=sinB(∠A+∠B=90。
)
九、课堂小结
1.sinA,cosA,tanA,是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA,tanA,是一个完整的符号,表示∠A
的正切,习惯省去“∠”号;
3.sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,
且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.
4.sinA,cosA,tanA,的大小只与∠A的大小有关,
而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
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