《数学史上的三大伟人、三次危机》教学设计Word格式文档下载.doc

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讲练法

教具准备：

电脑实物投影。

教学过程：

一、引入

数学是人类文化的重要内容，在现代文明社会中，一个不懂数学的人，其生活质量与思维水平一定很低，即使将来不做数学家，学些数学史对我们的人生和事业也有益处。

这节课我们要了解数学科学的发展规律，感受数学的文化价值，学习数学家们的严谨态度和探索精神。

数学史上著名数学家有许多，你知道哪三位是最伟大吗？

数学科学的发展也并非一帆风顺，它也经历着坎坷，存在着危机，你知道数学史上的三次危机吗？

美国贝尔在《数学人物》一书中写到，“任何一张开列有史以来三个最伟大的数学家的名单，必定会包括阿基米德，牛顿和高斯。

不过以其宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们的影响当代和后世的深远来比较，还应首推阿基米德”，有人说，欧洲民族几乎经过了两千年才达到他的数学水平，因此阿基米德被为“数学之神”。

二、数学史上的三大伟人

1、“数学之神”――阿基米德（投影）

利用圆的外切与内接９６边形，求得圆周率π为：

＜π＜，这是数学史上最早的，明确指出误差限度的π值。

《球与圆柱》，熟练地运用穷竭法证明了球的表面积等于球大圆面积的四倍；

球的体积是一个圆锥体积的四倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径。

阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为球表面积和体积的。

他曾说过：

“给我一个支点，我能把地球撬起来”。

有一位意大利学者这样盛赞阿基米德：

“他与其说是人，不如说是神！

”

相传阿基米德正沉醉在一道几何问题时,对已经陷城的罗马士兵浑然未觉,当士兵的利剑指向他时,他却用身子护住木板,大叫:

“不要动我的图形!

”可恨那目不识丁的士兵竟用利剑刺死了75岁的老科学家。

阿基米德之死是全人类不可弥补的重大损失。

2、数学巨人――牛顿（投影）

英国一位诗人赞扬牛顿时写道：

宇宙和宇宙规律隐藏在一片黑暗之中，

上帝说：

生出牛顿，

一切都会变得光明。

微积分的创立是继欧几里得几何之后，全部数学当中最为伟大得创举。

牛顿的《流数简论》是微积分诞生的标志性著作。

牛顿的《原理》一书被爱因斯坦誉为“无比辉煌的演绎成就”。

诸如“苹果落地与万有引力”，“煮表代蛋”，“忘了与女友的约会”，“看见饭桌上别人啃的骨头就说自己已经吃过饭”的故事，都反应出牛顿废寝忘食、专心科学，从而推动数学、力学与物理学的历史车轮滚滚向前。

牛顿自己的评价是：

如果我比别人看得更远一些，那只是因为我站在巨人的肩膀上。

3、“数学王子”－－高斯（投影）

“如果我们把１８世纪的数学家们想象为一系列的高山峻岭，那么最后一座使人肃然起敬的峰巅便是高斯”。

据说高斯三岁时就发现父亲作帐时的一个错误。

十岁已表现出超群的数学思维能力，不满１５岁的高斯掌握了微积分理论，并在最小二乘法和数论中的二次互反律的研究上取得重要成果。

１９岁时，他解决了一个数学难题－－仅用尺规作出正１７边形，当时轰动了整个数学界。

２２岁的高斯证明了当时许多数学家想证而不会证明的代数基本定理。

有人说“在数学世界里，高斯处处留芳”高斯在许多领域都有卓越的建树。

如果说微分几何是他将数学应用于实际的产物，那么非欧几何则是他的纯粹数学思维的结晶。

他在数论，超几何级数，复变函数论，椭圆函数论，统计数学，向量分析等方面也都取得了辉煌的成就。

高斯逝世后，哥廷根大学为他建立了一个以正十七棱柱为底座的纪念像，在慕尼黑博物馆的高斯画像上有这样一首题诗：

他的思想深入数学、空间、大自然的奥秘，

他测量了星星的路径、地球的形状和自然力。

他推动了数学的进展直到下个世纪。

“数学危机是会下金蛋的鹅”

三、数学史上的三大危机

1、无理数的发现──第一次数学危机（投影）

古希腊第一个在数学史上有重要影响的数学学派是毕达哥拉斯学派。

他们认为“万物皆数”，宇宙中的一切事物都可归结为整数及整数之比，他们心目中的数仅仅是正有理数（正整数和正分数），除此之外，世界上不再存在其他的数。

毕达哥拉斯学派的一项重大发现是证明了勾股定理，但由此也发现了单位正方形的对角线不能表示成整数或整数之比。

这一结论直接与毕达哥拉斯认为的数皆是正整数和正分数的观念发生了不可调和的冲突，导致了当时认识上的危机。

第一次数学危机使人们发现，除整数和分数之外，还存在另外的实数，当时希腊称之为“不可公度量”。

因为对“怪实数”的接受并非情愿，后人给它起了个难听的名字---无理数。

2、无穷小是零吗？

──第二次数学危机（投影）

18世纪，微分法和积分法由于运算的完整性和运算范围的广泛性，在生产和实践上都有了广泛而成功的应用。

同时关于微积分基础的问题也越来越严重，以求速度为例，瞬时速度是Δs/Δt，当Δt趋向于零时的值。

Δt是零?

是很小的量?

还是什么东西?

这个无穷小量究竟是不是零？

1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。

由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，导致了数学史上的第二次数学危机。

这次危机使数学更深入地探讨数学分析的基础—实数论的问题。

18世纪的数学思想的确是不严密的，从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。

3、悖论的产生---第三次数学危机（投影）

我们高一数学学习了集合，知道如果a表示一个实数,A表示一个数集,那么a与A的关系只有两种，要么a属于A，要么a不属于A。

集合论中最著名的悖论是罗素给出的理发师的困惑，某村理发师宣称：

他不给村子里任何自己刮脸的人刮脸，但只给所有不自己刮脸的人刮脸。

有人问“理发师先生，您是否自己给自己刮脸？

”如果他不给自己刮脸，那么按他原则后半句，就该为自己刮脸；

如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。

理发师怎样说也说不通，陷入自相矛盾的尴尬境地。

数学史上的第三次危机，就这样出现的。

罗素悖论使整个数学大厦动摇了。

德国逻辑学家、数学家弗雷格抱怨说：

“大厦即将完工之时，基础却崩溃了！

”排除罗素悖论的办法是世界上不存在那样的理发师。

所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。

四、课堂练习：

1、在算术课上老师提问：

1＋2＋3＋4＋·

·

＋99＋100＝？

，十岁的高斯即刻作答：

5050，你知道高斯是怎样解答的吗？

2、１９岁时高斯用尺规作出正１７边形，解决了当时一个数学难题。

用尺规作图，你能作出一个已知圆的内接正三角形吗？

3、强盗抢劫了一个商人，把他捆在树上准备杀掉。

为了戏弄商人，强盗对商人说：

“你猜我会怎样处置你？

说对了我就放了你，决不反悔！

说错了就杀了你，可别怨我”。

你知道商人怎样说才能保住自己的性命吗？

4、虽然兔子的速度比乌龟快10倍，假设乌龟在兔子前十米，但兔子却永远追不上徐徐前进的乌龟。

理由是：

开始时，乌龟在兔子前面10米，当兔子走完这10米时，在这段时间里，乌龟又向前走了1米；

而当兔子再走完这1米时，乌龟又向前走了1/10米，这样类推下去，兔子每追赶乌龟一段路程，乌龟就又向前前进了这段路程的1/10。

于是，兔子和乌龟之间总有一段距离，因此始终追不上乌龟。

你认为这种观点对吗？

说明你的理由

五、课堂小结

1、数学史上的三大伟人

“数学之神”――阿基米德数学巨人――牛顿“数学王子”－－高斯

2、数学史上的三大危机

无理数的发现微积分的严密悖论的产生

六、课外作业

查阅相关数学史资料，以“我最喜欢的_____________”为题，写一篇1000左右的读后感

评述：

本节课的教学设计体现新课标的数学文化价值理念。

数学史上三位最伟大数学家的事迹来源实际生活，真实而生动，数学史上的三次危机中的内容紧密结合以往学过的知识，设计得深入浅出，通俗易懂。

在习题的设计上体现了多种数学思想方法，逻辑推理能力也有较高的要求，注重数学与其他学科的联系，充分体现数学的实际应用价值。