初中数学辅助线技巧含练习Word下载.docx
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略证:
2.补成等腰三角形
例2如图2.已知∠A=90°
,AB=AC,∠1=∠2,CE⊥BD,求证:
BD=2CE
因为角是轴对称图形,角平分线是对称轴,故根据对称性作出辅助线,不难发现CF=2CE,再证BD=CF即可。
3.补成直角三角形
例3.如图3,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B+∠C=90°
,F、G分别是AD、BC的中点,若BC=18,AD=8,求FG的长。
从∠B、∠C互余,考虑将它们变为直角三角形的角,故延长BA、CD,要求FG,需求PF、PG。
略解:
4.补成等边三角形
例4.图4,△ABC是等边三角形,延长BC至D,延长BA至E,使AE=BD,连结CE、ED。
EC=ED
要证明EC=ED,通常要证∠ECD=∠EDC,但难以实现。
这样可采用补形法即延长BD到F,使BF=BE,连结EF。
二、补成特殊的四边形
1.补成平行四边形
例5.如图5,四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点,并且E、F、G、H不在同一条直线上,求证:
EF和GH互相平分。
因为平行四边形的对角线互相平分,故要证结论,需考虑四边形GEHF是平行四边形。
2.补成矩形
例6.如图6,四边形ABCD中,∠A=60°
,∠B=∠D=90°
,AB=200m,CD=100m,求AD、BC的长。
矩形具有许多特殊的性质,巧妙地构造矩形,可使问题转化为解直角三角形,于是一些四边形中较难的计算题不难获解。
3.补成菱形
例7.如图7,凸五边形ABCDE中,∠A=∠B=120°
,EA=AB=BC=2,CD=DE=4,求其面积
延长EA、CB交于P,根据题意易证四边形PCDE为菱形。
4.补成正方形
例8.如图8,在△ABC中,AD⊥BC于D,∠BAC=45°
,BD=3,DC=2。
求△ABC的面积。
本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难,如果从题设∠BAC=45°
,AD⊥BC出发,可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信息,那么问题立即可以获解。
5.补成梯形
例9.如图9,已知:
G是△ABC中BC边上的中线的中点,L是△ABC外的一条直线,自A、B、C、G向L作垂线,垂足分别为A1、B1、C1、G1。
求证:
GG1=(2AA1+BB1+CC1)。
本题从已知条件可知,中点多、垂线多特点,联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当,故过D作DD1⊥L于D1,则DD1既是梯形BB1C1C的中位线,又是梯形DD1A1A的一条底边,因而,可想到运用梯形中位线定理突破,使要证的结论明显地显示出来,从而使问题快速获证。
三、练习1、在△ABC中,AC=BC,D是AC上一点,且AE垂直BD的延长线于E,又AE=BD,求证:
BE平分∠ABC。
2、如图,已知:
在△ABC内,∠BAC=60°
,∠ACB=40°
,P、Q分别在BC、CA上,并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线,求证:
BQ+AQ=AB+BP
3、已知:
∠BAC=90°
,AB=AC,AD=DC,AE⊥BD,求证:
∠ADB=∠CDE
4、设正三角形ABC的边长为2,M是AB边上的中点,P是BC边上的任意一点,PA+PM的最大值和最小值分别记为S和,求:
S-t的值。
口诀
三角形
图中有角平分线,可向两边作垂线。
也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。
角平分线加垂线,三线合一试试看。
线段垂直平分线,常向两端把线连。
要证线段倍与半,延长缩短可试验。
三角形中两中点,连接则成中位线。
三角形中有中线,延长中线等中线。
四边形
平行四边形出现,对称中心等分点。
梯形里面作高线,平移一腰试试看。
平行移动对角线,补成三角形常见。
证相似,比线段,添线平行成习惯。
等积式子比例换,寻找线段很关键。
直接证明有困难,等量代换少麻烦。
斜边上面作高线,比例中项一大片。
圆
半径与弦长计算,弦心距来中间站。
圆上若有一切线,切点圆心半径连。
切线长度的计算,勾股定理最方便。
要想证明是切线,半径垂线仔细辨。
是直径,成半圆,想成直角径连弦。
弧有中点圆心连,垂径定理要记全。
圆周角边两条弦,直径和弦端点连。
弦切角边切线弦,同弧对角等找完。
要想作个外接圆,各边作出中垂线。
还要作个内接圆,内角平分线梦圆。
如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。
内外相切的两圆,经过切点公切线。
若是添上连心线,切点肯定在上面。
要作等角添个圆,证明题目少困难。
辅助线,是虚线,画图注意勿改变。
假如图形较分散,对称旋转去实验。
基本作图很关键,平时掌握要熟练。
解题还要多心眼,经常总结方法显。
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