经济数学基础作业3电大Word格式文档下载.docx
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5.了解矩阵秩的概念;
6.理解矩阵初等行变换的概念:
(1)将矩阵的某两行对换位置;
(2)将某一行遍乘一个非零常数;
(3)将矩阵的某一行遍乘一个非零常数加到另一行。
7.熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算。
掌握这几种运算的有关性质,注意:
(1)矩阵的乘法一般不满足交换律,即=不一定成立;
(2)在矩阵的乘法中存在有;
(3)矩阵乘法的消去律不成立,即且,不能导出。
8.熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵,熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵。
一)填空题
1.设矩阵,则的元素.
解:
的元素表示矩阵中第2行与第3列交叉的元素,即=3。
2.设均为3阶矩阵,且,则=.
因为若是阶方阵,是数,则
,,
因此=
3.设均为阶矩阵,则等式成立的充分必要条件是.
因为
的充分必要条件是=
4.设均为阶矩阵,可逆,则矩阵的解.
因为:
,则,
5.设矩阵,则.
求逆矩阵的初等行变化法:
(二)单项选择题
1.以下结论或等式正确的是().
A.若均为零矩阵,则有
B.若,且,则
C.对角矩阵是对称矩阵
D.若,则
A不正确。
零矩阵:
所有的元素均为零的矩阵。
例如:
,
B不正确。
矩阵乘法的消去律不成立。
设,,
有,但
C正确.对称矩阵:
若矩阵,有,则称矩阵为对称矩阵。
设n阶对角矩阵,显然有,因此矩阵为对称矩阵。
D不正确.例如:
设,,有
该题正确的选项为C.
2.设为矩阵,为矩阵,且乘积矩阵有意义,则为()矩阵.
A.B.
C.D.
矩阵乘法定义:
要求左边矩阵的列数与右边矩阵的行数相等,而且结果AB仍然是一个矩阵,其行数等于左边矩阵A的行数,其列数等于右边矩阵B的列数。
为,要有意义,则矩阵的行数=矩阵A的列数4;
为矩阵,则为矩阵,要有意义,则矩阵的列数=矩阵的行数2,故是一个矩阵,是一个矩阵。
该题正确的选项为A.
3.设均为阶可逆矩阵,则下列等式成立的是( ).`
A.,B.
C.D.
A都是错误的。
设,,容易验证矩阵均可逆,但不可逆,显然
是错误的。
B是错误的。
逆矩阵的性质:
C是正确的。
=
D是错误的。
矩阵的乘法一般不满足交换律。
4.下列矩阵可逆的是().
A.B.
C.D.
矩阵A可逆的方法:
(2)矩阵A是满秩矩阵。
A是正确的。
因为矩阵是阶梯形矩阵且为满秩矩阵。
或
,矩阵的秩为2,不是满秩矩阵,故不可逆。
C,D都是错误的。
矩阵的秩都为1,不是满秩矩阵,故不可逆。
5.矩阵的秩是().
A.0B.1C.2D.3
三、解答题
1.计算
(1)
原式==
(2)
原式=
(3)
2.计算
原式==
3.设矩阵,求。
二阶行列式
n阶行列式的计算方法:
1.降阶法:
2.化三角形矩阵
所以=0
4.设矩阵,确定的值,使最小。
求矩阵A的秩的方法:
阶梯行矩阵,
则=的非零行的行数。
当时,=2为最小
则=的非零行的行数
5.求矩阵的秩。
=2
6.求下列矩阵的逆矩阵:
求矩阵的逆的方法:
方法1:
方法2:
(2)A=.求
下面利用初等行变化法求的逆:
=
7.设矩阵,求解矩阵方程.
1.解矩阵方程:
(1).若A可逆,
则。
(2).若A可逆,则。
2.利用伴随矩阵法求二阶可逆矩阵的逆:
,其中伴随矩阵
因为则
,,
==
四、证明题
1.试证:
若都与可交换,则,也与可交换。
若有,
则称与可交换。
证明:
因为,
则结合矩阵运算的分配律有:
又利用矩阵运算的结合律有:
因此,都与可交换。
2.试证:
对于任意方阵,,是对称矩阵。
若,则称为对称矩阵。
转置矩阵的运算性质:
3.设均为阶对称矩阵,则是对称矩阵的充分必要条件是:
。
必要性:
若A则B,则称A是B的充分条件;
B是A的必要条件。
因为,为对称矩阵,则
充分性:
因为,,则
,即是对称矩阵。
4.设为阶对称矩阵,为阶可逆矩阵,且,证明是对称矩阵。
若为可逆矩阵,
则
因为,为阶可逆矩阵,且,则
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