同济土木本科弹性力学课后题Word文档下载推荐.docx
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2.5设有矢量。
原坐标系绕轴转动角度,得到新坐标系,如图2.4所示。
试求矢量在新坐标系中的分量。
答案:
,
。
2.6设有二阶张量。
当作和上题相同的坐标变换时,试求张量在新坐标系中的分量、、和。
提示:
坐标变换系数与上题相同。
,
2.7设有个数,对任意阶张量,定义
若为阶张量,试证明是阶张量。
为书写简单起见,取,,则
2.8设为二阶张量,试证明。
证:
2.9设为矢量,为二阶张量,试证明:
(1),
(2)
(1)
。
(2)
2.10已知张量具有矩阵
求的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。
解:
2.11已知二阶张量的矩阵为
求的特征值和特征矢量。
2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量:
,
其中,和是实数,和是两个相互垂直的单位矢量。
因为
所以是的特征矢量,是和其对应的特征值。
设是和垂直的任意单位矢量,则有
所以和垂直的任意单位矢量都是的特征矢量,相应的特征值为,显然是特征方程的重根。
令,,
则有
,
上面定义的是相互垂直的单位矢量。
张量可以表示成
所以,三个特征值是1、0和-1,对应的特征矢量是、和。
2.13设和是矢量,证明:
(2)
2.14设,求及其轴向矢量。
由上式很容易得到轴向矢量,也可以按下面的方法计算轴向矢量
2.15设是一闭曲面,是从原点到任意一点的矢径,试证明:
(1)若原点在的外面,积分;
(2)若原点在的内部,积分。
(1)当时,有
(b)
因为原点在的外面,上式在所围的区域中处处成立,所以由高斯公式得
(2)因为原点在的内部,所以必定存在一个以原点为球心、半径为的球面完全在的内部。
用表示由和所围的区域,在中式(b)成立,所以
即
在上,,,于是
2.16设,试计算积分。
式中是球面在平面的上面部分.
用表示圆,即球面和平面的交线。
由Stokes公式得
第三章
3.1设是矢径、是位移,。
求,并证明:
当时,是一个可逆的二阶张量。
的行列式就是书中的式(3.2),当时,这一行列式大于零,所以可逆。
3.2设位移场为,这里的是二阶常张量,即和无关。
求应变张量、反对称张量及其轴向矢量。
,,,
3.3设位移场为,这里的是二阶常张量,且。
请证明:
(1)变形前的直线在变形后仍为直线;
(2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面;
(3)变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。
(1)方向和矢量相同且过矢径为的点的直线方程可以写成
(1)
其中是可变的参数。
变形后的矢径为
(2)
用点积式
(1)的两边,并利用式
(2),得
上式也是直线方程,所表示的直线和矢量平行,过矢径为的点。
所以变形前的直线变形后仍然是直线。
(2)因为,所以可逆。
记,则
(3)
变形前任意一个平面的方程可以表示成
(4)
其中是和平面垂直的一个常矢量,是常数。
将式(3)代入式(4),得
(5)
上式表示的是和矢量垂直的平面。
所以变形前的平面在变形后仍然是平面。
(3)变形前两个平行的平面可以表示成
变形后变成
仍是两个平行的平面。
3.4在某点附近,若能确定任意微线段的长度变化,试问是否能确定任意两条微线段之间夹角的变化;
反之,若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化,试问能否确定任意微线段的长度变化。
答案:
能;
能。
3.5设位移场为,其中是二阶常张量,和是两个单位矢量,它们之间的夹角为。
求变形后的减小量。
3.6设和是两个单位矢量,和是两个微小的矢量,变形前它们所张的平行四边形面积为,试用应变张量把变形时它的面积变化率表示出来,其中是面积变形前后的改变量。
变形后,和变成
对上面两式进行叉积,并略去高阶小量,得
对上式两边进行自身点积,略去高阶小量,得
(a)
注意到
所以,从式(a)可得
利用习题2.4中的等式,上式也可写成
3.7设在一个确定的坐标系中的应变分量为,让坐标系绕轴转动角,得一个新的坐标系,求在新坐标系中的应变分量。
,,
3.8在平面上,、、和轴正方向之间的夹角分别为、、,如图3.9所示,这三个方向的正应变分别为、和。
求平面上任意方向的相对伸长度。
3.9试说明下列应变分量是否可能发生:
,,,
其中和为常数。
3.10确定常数,,,,,,之间的关系,使下列应变分量满足协调方程
3.11若物体的变形是均匀的,即应变张量和空间位置无关,试写出位移的一般表达式。
(由于应变张量和空间位置无关,所以书中的式(3.36a)简化成……)
3.12设,,,,其中,,是常量,求位移的一般表达式。
第四章
4.1已知物体内一点的六个应力分量为:
,,,,,
试求法线方向余弦为,,的微分面上的总应力、正应力和剪应力。
总应力。
正应力。
剪应力。
4.2过某点有两个面,它们的法向单位矢量分别为和,在这两个面上的应力矢量分别为和,试证。
(利用应力张量的对称性……)
4.3某点的应力张量为
且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零,求及该平面的单位法向矢量。
设要求的单位法向矢量为,则按题意有
,,(a)
上面第二式的两倍减去第一式和第三式,得
上式有两个解:
或。
若,则代入式(a)中的三个式子,可得,这是不可能的。
所以必有。
将代入式(a),利用,可求得
4.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状,见图4.8,下部受均匀压力作用,斜面自由,试验证应力分量
满足平衡方程,并根据面力边界条件确定常数、和。
将题中的应力分量代入平衡方程,可知它们满足平衡方程。
在的边界上,有边界条件
所给的应力分量自动满足上面的第二个条件。
将的表达式代入上面的第一个条件,得
在上斜面上,有,所以斜面上的应力分量可以简化成
,,
,
(2)
斜面上的外法向方向余弦为
,,(3)
将式
(2)和(3)代入边界条件,得
联立求解
(1)和(4),得
4.5图4.9表示一三角形水坝,已求得应力分量为
和分别是坝身和水的比重。
求常数、、、,使上述应力分量满足边界条件。
在的边界上,有边界条件
将题中的应力分量代入上面两式,可解得:
,。
在左侧的斜面上,,外法向方向余弦为
把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件,可解得:
4.6物体的表面由确定,沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷,试写出其边界条件。
物体表面上任意一点的外法向单位矢量为
或
按题意,边界条件为
因此
即
上式的指标形式为
4.7如图4.10所示,半径为的球体,一半沉浸在密度为的液体内,试写出该球的全部边界条件。
球面的外法向单位矢量为
当时,有边界条件
即或。
当时,球面上的压力为,其中为重力加速度,边界条件为
4.8物体的应力状态为,其中为矢径的函数。
(1)证明物体所受的体积力是有势力,即存在一个函数,使;
(2)写出物体表面上的面力表达式。
(1)应力场必须满足平衡方程,所以
所以,只要令,就有。
(2)表面上的面力为
或。
4.9已知六个应力分量中的,求应力张量的不变量并导出主应力公式。
应力张量的三个不变量为:
,,。
特征方程是
上式的三个根即三个主应力为和
4.10已知三个主应力为、和,在主坐标系中取正八面体,它的每个面都为正三角形,其法向单位矢量为
求八面体各个面上的正应力和剪应力。
4.11某点的应力分量为,,求:
(1)过此点法向为的面上的正应力和剪应力;
(2)主方向、主应力、最大剪应力及其方向。
(1),
正应力为。
剪应力为。
由此可知,是主应力,是和其对应的主方向。
(2)用表示主应力,则
所以,三个主应力是,。
由上面的结论可知,和对应的主方向是,又因为是重根,所以和垂直的任何方向都是主方向。
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- 同济 土木 本科 弹性 力学 课后