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18线代考研真题

2017/18线代考研真题

（5）（2017.数学一、三）设为n维单位列向量，为阶单位矩阵，则_____.

（A）不可逆（B）不可逆

（C）不可逆（D）不可逆

【答案】A

【解析】选项A,由得有非零解，故。

即不可逆。

选项B,由得的特征值为n-1个0，1.故的特征值为n-1个1，2.故可逆。

其它选项类似理解。

（6）（2017.数学一、二、三）已知矩阵，则______.

（A）与相似，与相似（B）与相似，与不相似

（C）与不相似，与相似（D）与不相似，与不相似

【答案】B

【解析】由可知A的特征值为2,2,1,

因为，∴A可相似对角化，且

由可知B特征值为2,2,1.

因为，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，

∴，且B不相似于C

（7）（2017.数学二）设为三阶矩阵，为可逆矩阵，使得,则________.

（A）（B）（C）（D）

【答案】B

【解析】

因此B正确。

（13）（2017.数学一、三）设矩阵，为线性无关的3维列向量组，则向量组的秩为______.

【答案】2

【解析】由线性无关，可知矩阵可逆，故

再由得

（14）（2018、数学二）设矩阵的一个特征向量为，则.

【答案】-1

【解析】设，由题设知，故

故.

（20）（2017.数学一、二、三）设3阶矩阵有3个不同的特征值，且,

（）证明：

；（）若，求方程组的通解.

解（）证明：

因为，所以线性相关，故.

若，则至少为2重特征值，与有3个不同的特征值矛盾，所以.

（）因为，所以的基础解系中只有1个向量，

又，即，所以基础解系为，

进一步，即，所以特解为，

从而通解，为任意实数.

（21）（2017.数学一、二、三）

设二次型在正交变换下的标准型，求的值及一个正交矩阵.

解，特征值为，从而，即，所以.

，，

得，

，得，，得，

，得，单位化，，

所以.

5.（2018.数学一、二、三）下列矩阵中，与矩阵相似的为

A.B.

C.D.

答案：

选A.

若相似于，则也相似于，从而，由此知道均不成立，故只有成立.

6.（2018.数学一、二、三）设为阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，则

A.B.

C.D.

答案：

选（A）

故，又，所以

故选答案（A）

13.（2018、数学一）二阶矩阵有两个不同的特征值，是的线性无关的特征向量，则

答案：

填“”.

，故由于

故

14.（2018、数学二、三）设为3阶矩阵，为线性无关的向量组.若则的实特征值为____.

答案：

填“”.

，令，

则

则其实特征值为

20.（2018.数学一、二、三）

设实二次型，其中是参数.

（1）求的解.

（2）求的规范形.

解：

（1）

（i）时，仅有零解

（ii）时，的零为

（2）时，仅有零解，所以正定，故的规范形为

时，

二次型矩阵为

显然，规范形为

21.（2018.数学一、二、三）已知是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵

（1）求；

（2）求满足的可逆矩阵.

解：

解法1：

由题意知的列等价

故

得.

时

为的解，而的通解为

取

取得，

解法2：

列最简形

故列等价，所以

所以

为所求，但不唯一.