高考数学复习34 高考数学复习突破高考中的数列与不等式问题Word格式.docx
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若存在,求n的最小值;
若不存在,请说明理由.
题型二 数列的通项与求和
例2 已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=,an+1=an.
(1)证明:
数列{}是等比数列;
(2)求通项an与前n项的和Sn.
【解析】
(1)证明 ∵a1=,an+1=an,
当n∈N*时,≠0.
又=,∶=(n∈N*)为常数,
∴{}是以为首项,为公比的等比数列.
(2)解 由{}是以为首项,为公比的等比数列,
得=·
()n-1,∴an=n·
()n.
∴Sn=1·
+2·
()2+3·
()3+…+n·
()n,
Sn=1·
()2+2·
()3+…+(n-1)()n+n·
()n+1,
∴Sn=+()2+()3+…+()n-n·
()n+1
=-n·
∴Sn=2-()n-1-n·
()n=2-(n+2)·
综上,an=n·
()n,Sn=2-(n+2)·
()n.学科*网
【思维升华】
(1)一般求数列的通项往往要构造数列,此时要从证的结论出发,这是很重要的解题信息.
(2)根据数列的特点选择合适的求和方法,常用的有错位相减法,分组求和法,裂项求和法等.
【跟踪训练2】 在等比数列{an}(n∈N*)中,a1>1,公比q>0,设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.
(1)求{an}的通项an;
(2)若cn=,求{cn}的前n项和Sn.
所以==q2,
解得
所以an=16×
n-1=25-n(n∈N*).
(2)由
(1)知an=25-n,所以bn=5-n(n∈N*),
所以cn==,
所以Sn=-(1-)+(-)+(-)+…+(-)]
=-(1-+-+-+…+-)
=-(1-)=(n∈N*).
题型三 数列与其他知识的交汇
命题点1 数列与函数的交汇
例3 (2017·
温州十校联考)已知二次函数f(x)=ax2+bx的图象过点(-4n,0),且f′(0)=2n,n∈N*,数列{an}满足=f′,且a1=4.
(2)记bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
∴an=(n∈N*).
(2)∵bn==
=2,
∴Tn=b1+b2+…+bn
=++…+
=2
=.
命题点2 函数与不等式的交汇
例4 已知等差数列{an}中,a2=6,a3+a6=27.
(2)记数列{an}的前n项和为Sn,且Tn=,若对于一切正整数n,总有Tn≤m成立,求实数m的取值范围.
【变式1 已知数列{an}中,a1=2,a2=3,其前n项和Sn满足Sn+2+Sn=2Sn+1+1(n∈N*);
数列{bn}中,b1=a1,bn+1=4bn+6(n∈N*).
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=bn+2+(-1)n-1λ·
2an(λ为非零整数,n∈N*),试确定λ的值,使得对任意n∈N*,都有cn+1>
cn成立.
【思维启迪】
(1)先求an,再构造等比数列求bn;
(2)不等式cn+1>
cn恒成立,可以转化为求函数的最值问题.
【思维升华】数列中有关项或前n项和的恒成立问题,往往转化为函数的最值问题;
求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解.
【变式2】已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.
(2)证明:
Sn+≤(n∈N*).
(1)设等比数列{an}的公比为q,
因为-2S2,S3,4S4成等差数列,
所以S3+2S2=4S4-S3,即S4-S3=S2-S4,
可得2a4=-a3,于是q==-.
又a1=,所以等比数列{an}的通项公式为
an=×
n-1=(-1)n-1·
.
故对于n∈N*,有Sn+≤.
命题点3 数列应用题
例5 某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍,并且每年年底固定给股东们分红500万元,该企业2010年年底分红后的资金为1000万元.
(1)求该企业2014年年底分红后的资金;
(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32500万元.
【解析】 设an为(2010+n)年年底分红后的资金,其中n∈N*,
则a1=2×
1000-500=1500,
a2=2×
1500-500=2500,…,
an=2an-1-500(n≥2).
∴an-500=2(an-1-500)(n≥2),
即数列{an-500}是以a1-500=1000为首项,2为公比的等比数列.
∴an-500=1000×
2n-1,
∴an=1000×
2n-1+500.
(1)∵a4=1000×
24-1+500=8500,
∴该企业2014年年底分红后的资金为8500万元.
(2)由an>32500,即2n-1>32,得n>6,
∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32500万元.
思维升华 数列与其他知识的交汇问题,要充分利用题中限制条件确定数列的特征,如通项公式、前n项和公式或递推关系式,建立数列模型.
【跟踪训练3】 设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).
(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;
(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列的前n项和Tn.
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