大物转动惯量教案Word下载.docx

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物理2班

授课日期

2011/6/20

课题

《理论力学》转动惯量

时　　数

2

教学目的

及要求

目的：

⒈让学生充分理解转动惯量的意义；

⒉教会学生推导刚体的动量矩；

⒊加深学生对转动惯量的理解；

要求：

⒈学生会分析计算刚体的动量矩；

⒉学会找惯量主轴；

⒊学会计算刚体的动能。

教学重点

⒈刚体动量矩的推导；

⒉刚体惯量张量的推导；

⒊惯量主轴的选择；

⒋刚体动能的计算

难点

教学方法

及教具

比较法，

课堂设计（教学内容、过程、方法、图表等）

时　间

分　配

Ⅰ、刚体的动量矩

假设刚体在某一时刻以角速度作定点转动如图3.5.1所示。

在它里面，取任意质点，它的质量是,速度是（未画出）。

如对定点O的位矢是，则此质点对定点O的动量矩为

整个刚体对O的动量矩为刚体各质点对点O的动量矩的矢量和：

又故

根据得

动量矩一般不与角速度共线。

在平动

中，动量与线速度总是共线的。

在定点转动中，只在惯量主轴上，才与共线。

一般情况下的动量矩的分量表达式：

同理

将

及

代入得

即

其中称为惯量张量（刚体对定点o的张量），用表示。

其中的个元素叫做组元。

那么

Ⅱ、惯量张量和惯量椭球

⒈轴转动惯量的概念：

称为刚体对x轴、y轴、z轴的轴转动惯量。

⒉惯量积的概念：

含有两个坐标的乘积项的叫做惯量积。

⒊刚体对转动瞬轴的转动惯量

（1）

如右图，点P关于l的动量矩是：

（点关于轴的动量矩相当于对轴上一点沿轴方向的分量）

令α=cosθ,β=cosφ,γ=cosγ代入

上式得

⒋惯量椭球

在转动瞬轴上取一点Q，并使,点Q的做标记为（x,y,z）x=Rα,y=Rβ,z=Rγ

由得

上式代表一个中心在O点的椭球，通常叫做惯量椭球。

如果O为刚体质心（或重心），则所作出的椭球，叫做中心惯量椭球。

按照方程画出椭球便可根据的关系，由某轴上矢径R的长，求出刚体绕该轴转动时的转动惯量I。

⒌转动主轴及其求法

⑴惯量主轴：

惯量椭球的主轴，即椭球是对称轴。

⑵主转动惯量：

对惯量主轴的转动惯量。

因惯量积为零，主转动惯量改以用表示。

则惯量椭球的方程简化为

⑶具有对称性的均匀刚体惯量主轴的确定

①对称轴（以x轴为例）

若：

则z轴（对称面法向量）是惯量主轴

②对称面（以oxy面为例）z轴是oxy的法向量

，则z轴（对称面法向量）是惯量主轴

例题：

均匀长方形薄片的边长为a与b，质量为m,求此长方形薄片绕其对角线转动时的转动惯量。

（1）直接用定积分计算

在右图中取对角线为x轴，在O点和它垂直的直线为y轴，并令t为薄片的厚度，ρ为密度。

取一长方形窄条，长为u，宽为dy,则绕对角线（x轴）转动的转动惯量I为

――

（1）

又（根据三角形相似）

所以――

（2）

将2）代入

（1）得

又

故

（2）用计算

因

所以

今

（3）取惯量主轴为坐标轴，则

由图知

又

以上三种方法可以看出，取惯量主轴为坐标轴来计算薄片绕对角线转动时的转动惯量I最为简便。

对空间问题和形状比较复杂的物体，如果有对称轴，则总是以对称轴为坐标轴式，I的计算比较简便。

作业及

参考文献

《理论力学》

作业：

3.43.73.8

课后小结