三角形相似初中数学组卷Word下载.docx
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②∠ACB=90°
;
③FN∥AB;
④AD2=DF•DC.则下列结论正确的是( )
A.①②④B.②③④C.①②③④D.①③
二.填空题(共2小题)
6.如图,矩形ABCD中,F是DC上一点,BF⊥AC,垂足为E,=,△CEF的面积为S1,△AEB的面积为S2,则的值等于 .
7.如图,菱形ABCD中,AB=AC,点E、F分别为边AB、BC上的点,且AE=BF,连接CE、AF交于点H,连接DH交AG于点O.则下列结论①△ABF≌△CAE,②∠AHC=120°
,③AH+CH=DH,④AD2=OD•DH中,正确的是 .
三.解答题(共6小题)
8.如图,四边形ABCD中,AC⊥BD交BD于点E,点F,M分别是AB,BC的中点,BN平分∠ABE交AM于点N,AB=AC=BD.连接MF,NF.
(1)判断△BMN的形状,并证明你的结论;
(2)判断△MFN与△BDC之间的关系,并说明理由.
9.如图,在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F,延长BC到点E,使得四边形ACED是一个平行四边形,平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H.
(1)证明:
DG2=FG•BG;
(2)若AB=5,BC=6,则线段GH的长度.
10.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B,射线AG分别交线段DE,BC于点F,G,且.
(1)求证:
△ADF∽△ACG;
(2)若,求的值.
11.已知点E在△ABC内,∠ABC=∠EBD=α,∠ACB=∠EDB=60°
,∠AEB=150°
,∠BEC=90°
.
(1)当α=60°
时(如图1),
①判断△ABC的形状,并说明理由;
②求证:
BD=AE;
(2)当α=90°
时(如图2),求的值.
12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,Rt△BAP中,∠BAP=90°
,已知∠CBO=∠ABP,BP交AC于点O,E为AC上一点,且AE=OC.
AP=AO;
(2)求证:
PE⊥AO;
(3)当AE=AC,AB=10时,求线段BO的长度.
13.如图,已知ED∥BC,∠EAB=∠BCF,
(1)四边形ABCD为平行四边形;
OB2=OE•OF;
(3)连接OD,若∠OBC=∠ODC,求证:
四边形ABCD为菱形.
三角形相似初中数学组卷
1.(2014•铜仁地区)如图所示,在矩形ABCD中,F是DC上一点,AE平分∠BAF交BC于点E,且DE⊥AF,垂足为点M,BE=3,AE=2,则MF的长是( )
【分析】设MD=a,MF=x,利用△ADM∽△DFM,得到∴,利用△DMF∽△DCE,∴.得到a与x的关系式,化简可得x的值,得到D选项答案.
【解答】解:
∵AE平分∠BAF交BC于点E,且DE⊥AF,∠B=90°
,
∴AB=AM,BE=EM=3,
又∵AE=2,
∴,
设MD=a,MF=x,在△ADM和△DFM中,,
∴△ADM∽△DFM,,
∴DM2=AM•MF,
在△DMF和△DCE中,,
∴△DMF∽△DCE,
∴.
解之得:
故答案选:
D.
【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形相似的判定方法,解题的关键在于利用三角形相似构造方程求得对应边的长度.
2.(2014•台湾)如图,△ABC中,D、E两点分别在BC、AD上,且AD为∠BAC的角平分线.若∠ABE=∠C,AE:
【分析】根据已知条件先求得S△ABE:
S△BED=2:
1,再根据三角形相似求得S△ACD=S△ABE=S△BED,根据S△ABC=S△ABE+S△ACD+S△BED即可求得.
∵AE:
1,
∴AE:
AD=2:
3,
∵∠ABE=∠C,∠BAE=∠CAD,
∴△ABE∽△ACD,
∴S△ABE:
S△ACD=4:
9,
∴S△ACD=S△ABE,
∴S△ABE=2S△BED,
∴S△ACD=S△ABE=S△BED,
∵S△ABC=S△ABE+S△ACD+S△BED=2S△BED+S△BED+S△BED=S△BED,
∴S△BDE:
S△ABC=2:
15,
故选D.
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,不同底等高的三角形面积的求法等,等量代换是本题的关键.
3.(2013•孝南区校级模拟)如图,正方形ABCD中,O为BD中点,以BC为边向正方形内作等边△BCE,连接并延长AE交CD于F,连接BD分别交CE、AF于G、H,下列结论:
①∠CEH=45°
②GF∥DE;
③2OH+DH=BD;
④BG=DG;
⑤.
其中正确的结论是( )
A.①②③B.①②④C.①②⑤D.②④⑤
【分析】①利用正方形的性质,等边三角形的性质,等腰三角形的性质及三角形的内角和与外角求得判定即可;
②由三角形的全等判定与性质,以及三角形的内角和求出判定即可;
③直接由图形判定即可;
④由特殊角的直角三角形的边角关系判定即可;
⑤两个三角形的底相同,由高的比进行判定即可.
①由∠ABC=90°
,△BEC为等边三角形,△ABE为等腰三角形,∠AEB+∠BEC+∠CEH=180°
,可求得∠CEH=45°
,此结论正确;
②由△EGD≌△DFE,EF=GD,再由△HDE为等腰三角形,∠DEH=30°
,得出△HGF为等腰三角形,∠HFG=30°
,可求得GF∥DE,此结论正确;
③由图可知2(OH+HD)=2OD=BD,所以2OH+DH=BD此结论不正确;
④如图,过点G作GM⊥CD垂足为M,GN⊥BC垂足为N,设GM=x,则GN=x,进一步利用勾股定理求得GD=x,BG=x,得出BG=GD,此结论不正确;
⑤由图可知△BCE和△BCG同底不等高,它们的面积比即是两个三角形的高之比,由④可知△BCE的高为(x+x)和△BCG的高为x,因此S△BCE:
S△BCG=(x+x):
x=,此结论正确;
故正确的结论有①②⑤.
故选C.
【点评】此题考查了正方形的性质,等腰三角形的性质,等边三角形的性质,三角形全等的判定与性质,三角形的面积,特殊角的三角函数等知识点,学生需要有比较强的综合知识.
4.(2012•武汉模拟)如图,在正方形ABCD中,点E、F分别是BC、DC边上的两点,且∠EAF=45°
【分析】①转证AB:
BN=DM:
AB,因为AB=AD,所以即证AB:
AD.证明△ABN∽△ADM(根据两角相等);
②把△ABE绕点A逆时针旋转90°
,得△ADH.证明△AFH≌△AFE(SAS);
③即证AM:
AN=AF:
AE.证明△AMN∽△AFE(两角相等);
④由②得BE+DF=EF.运用特值法验证.当E点与B点重合、F与C重合时,根据正方形的性质,结论成立.
①∵∠BAN=∠BAM+∠MAN=∠BAM+45°
∠AMD=∠ABM+∠BAM=45°
+∠BAM,
∴∠BAN=∠AMD.
又∠ABN=∠ADM=45°
∴△ABN∽△ADM,
∴AB:
AD.
∵AD=AB,
∴AB2=BN•DM.
故①正确;
②
把△ABE绕点A逆时针旋转90°
,得到△ADH.
∵∠BAD=90°
,∠EAF=45°
∴∠BAE+∠DAF=45°
∴∠EAF=∠HAF.
∵AE=AH,AF=AF,
∴△AEF≌△AHF,
∴∠AFH=∠AFE,即AF平分∠DFE.
故②正确;
③∵AB∥CD,∴∠DFA=∠BAN.
∵∠AFE=∠AFD,∠BAN=∠AMD,
∴∠AFE=∠AMN.
又∠MAN=∠FAE,
∴△AMN∽△AFE.
∴AM:
AF=AN:
AE,即
AM•AE=AN•AF.
故③正确;
④由②得BE+DF=DH+DF=FH=FE.
过A作AO⊥BD,作AG⊥EF.
则△AFE与△AMN的相似比就是AG:
AO.
易证△ADF≌△AGF(AAS),
则可知AG=AD=AO,从而得证
故④正确.
【点评】此题考查了正方形的性质、相似(包括全等)三角形的判定和性质、旋转的性质等知识点,综合性极强,难度较大.
5.(2014•武汉模拟)如图,在△ABC中,CD⊥AB,且CD2=AD•DB,AE平分∠CAB交CD于F,∠EAB=∠B,CN=BE.①CF=BN;
【分析】根据已知条件可证△ADC∽△CDB,得出∠ACB=90°
.根据等量关系及等腰三角形的性质得到CF=BN.根据同位角相等,证明FN∥AB.证明△ADF∽△CDA,根据相似三角形的性质得出AD2=DF•DC.
①∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠CDB=90°
∵CD2=AD•DB,∴,
∴△ADC∽△CDB,
∴∠ACD=∠B,
∴∠ACB=90°
,故本选项正确;
②∵AE平分∠CAB
∴∠CAE=∠DAF,
∴△CAE∽△DAF,
∴∠AFD=∠AEC,
∴∠CFE=∠AEC,
∴CF=CE,
∵CN=BE,∴CE=BN,
∴CF=BN,故本选项正确;
③∵∠EAB=∠B,
∴EA=EB,
∵FA=FC=BN,∠FEN=∠AEB,
∴△EFN∽△EAB,
∴∠EFN=∠EAB,
∴FN∥AB,故本选项正确;
④易证△ADF∽△CDA,
∴AD2=DF•DC,故本选项正确;
【点评】本题综合考查了相似三角形的判定和性质,平行线的判定,等腰三角形的性质等知识点.
6.(2015•南通)如图,矩形ABCD中,F是DC上一点,BF⊥AC,垂足为E,=,△CEF的面积为S1,△AEB的面积为S2,则的值等于 .
【分析】首先根据=设AD=BC=a,则AB=CD=2a,然后利用勾股定理得到AC=a,然后根据射影定理得到BC2=CE•CA,AB2=AE•AC从而求得CE=,AE=,得到=,利用△CEF∽△AEB,求得=()2=.
∵=,
∴设AD=BC=a,则AB=CD=2a,
∴AC=a,
∵BF⊥A
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